¿Qué es la ecuación ordinaria de la circunferencia?
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia fija —el radio r— de un punto fijo llamado centro, que se expresa con las coordenadas (h, k). La forma ordinaria (también conocida como forma centro-radio) de su ecuación es \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Esta calculadora genera dicha ecuación al instante a partir del centro y el radio que introduzcas, y además te muestra el diámetro, el perímetro, el área y la forma general equivalente.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la coordenada x del centro (h), la coordenada y del centro (k) y el radio (r). La calculadora sustituye estos valores directamente en la forma ordinaria y calcula las demás medidas. Un radio de 0 reduce la circunferencia a un único punto, así que utiliza un radio positivo para obtener una circunferencia real.
La fórmula explicada
La forma ordinaria se deduce directamente de la fórmula de la distancia. La distancia entre cualquier punto (x, y) de la circunferencia y el centro (h, k) es igual a r, de modo que \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). Al elevar al cuadrado ambos miembros obtenemos $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.$$ Si desarrollamos esta expresión llegamos a la forma general \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), donde \(D = -2h\), \(E = -2k\) y \(F = h^2 + k^2 - r^2\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que el centro es (3, −2) y el radio es 5. La ecuación ordinaria es \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\), que se simplifica a $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.$$ El diámetro es \(2 \times 5 = 10\), el perímetro es \(2\pi(5) \approx 31{,}42\) y el área es \(\pi(5^2) \approx 78{,}54\). En la forma general: \(D = -6\), \(E = 4\), \(F = 9 + 4 - 25 = -12\), lo que da \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si el centro está en el origen? Cuando \(h = 0\) y \(k = 0\), la ecuación se simplifica a \(x^2 + y^2 = r^2\).
¿Cómo obtengo el radio a partir de la ecuación ordinaria? El miembro derecho es igual a \(r^2\), por lo que basta con calcular su raíz cuadrada para obtener r.
¿Puede el radio ser negativo? No. El radio es una distancia y debe ser cero o positivo; como la ecuación solo emplea \(r^2\), un valor negativo no describiría ninguna circunferencia real.
