Qué hace esta calculadora
Una circunferencia se puede escribir de dos maneras. La forma ordinaria (también llamada forma centro-radio) es \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\), que muestra de forma directa el centro \((h, k)\) y el radio \(r\). La forma general es \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), donde esa estructura queda oculta dentro de tres coeficientes. Esta herramienta convierte la forma ordinaria en la forma general calculando \(D\), \(E\) y \(F\) a partir del centro y el radio que indiques.
Cómo usarla
Introduce las coordenadas del centro \(h\) y \(k\), y a continuación el radio \(r\). La calculadora devuelve la ecuación completa en forma general junto con cada coeficiente. Los valores pueden ser positivos, negativos o cero, y se admiten decimales.
La fórmula explicada
Al desarrollar la forma ordinaria se obtienen las relaciones que se utilizan aquí:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}.$$
Si sustituyes estos valores de nuevo en \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), recuperas exactamente \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\), de modo que la conversión es exacta y reversible.
Ejemplo resuelto
Supongamos que el centro es \((2, 3)\) y el radio es \(5\). Entonces \(D = -2(2) = -4\), \(E = -2(3) = -6\) y $$F = 2^{2} + 3^{2} - 5^{2} = 4 + 9 - 25 = -12.$$ La forma general queda $$x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0.$$
Preguntas frecuentes
¿El radio puede ser cero? Un radio de \(0\) describe un único punto (una circunferencia degenerada); la fórmula sigue funcionando y da \(F = h^{2} + k^{2}\).
¿Por qué a veces F es negativo? \(F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\). Cuando el radio es grande en comparación con la distancia del centro al origen, \(F\) se vuelve negativo, lo cual es totalmente normal.
¿Cómo vuelvo a la forma ordinaria? Usa \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) y \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\).
