Что делает этот калькулятор
Уравнение окружности можно записать двумя способами. Канонический вид (его ещё называют записью «центр–радиус») выглядит так: \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\). Из него сразу видны центр \((h, k)\) и радиус \(r\). Общий вид — это \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), где вся структура «спрятана» в трёх коэффициентах. Калькулятор переводит каноническое уравнение в общее, вычисляя \(D\), \(E\) и \(F\) по введённым вами центру и радиусу.
Как пользоваться
Введите координаты центра \(h\) и \(k\), а затем радиус \(r\). Калькулятор выдаст полное уравнение в общем виде и значение каждого коэффициента. Значения могут быть положительными, отрицательными или нулевыми; десятичные дроби тоже поддерживаются.
Разбор формулы
Если раскрыть скобки в каноническом уравнении, получаются соотношения, которые и используются здесь:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}.$$Подставив эти выражения обратно в \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), мы в точности получаем \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\). То есть перевод выполняется без потери точности и в обе стороны.
Пример с решением
Пусть центр окружности — \((2, 3)\), а радиус — \(5\). Тогда \(D = -2(2) = -4\), \(E = -2(3) = -6\) и
$$F = 2^{2} + 3^{2} - 5^{2} = 4 + 9 - 25 = -12.$$Уравнение в общем виде:
$$x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0.$$Частые вопросы
Может ли радиус быть равен нулю? Радиус \(0\) описывает одну точку (вырожденную окружность). Формула всё равно работает и даёт \(F = h^{2} + k^{2}\).
Почему F иногда отрицательный? Потому что \(F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\). Когда радиус велик по сравнению с расстоянием центра от начала координат, \(F\) становится отрицательным — это нормально.
Как вернуться к каноническому виду? Используйте формулы \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) и \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\).
