圓的標準式轉一般式計算器

輸入計算

圓心 x 座標 (h)

圓心 y 座標 (k)

半徑 (r)

結果

一般式方程式

x² + y² + (-4)x + (-6)y + (-12) = 0

from center (2, 3), radius 5

係數	數值	公式
D	-4	−2h
E	-6	−2k
F	-12	h² + k² − r²

這個計算器的功能

一個圓可以用兩種方式來表示。標準式（又稱圓心半徑式）為 (x − h)² + (y − k)² = r²，能直接看出圓心 (h, k) 與半徑 r。一般式則是 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，圓的結構被藏在三個係數裡。這個工具會根據你輸入的圓心與半徑，計算出 D、E、F，把標準式換算成一般式。

使用方式

輸入圓心座標 h 與 k，再填入半徑 r。計算器會輸出完整的一般式方程式，以及每一個係數。數值可以是正數、負數或零，也支援小數。

公式說明

把標準式展開後，就能得到這裡所用到的關係式：

D = −2h、  E = −2k、  F = h² + k² − r²。

將這些代回 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，會完全還原成 (x − h)² + (y − k)² = r²，因此這個轉換是精確且可逆的。

展開標準式可得一般式係數 D、E 和 F。

標準式中由圓心 (h, k) 和半徑 r 定義的圓。

範例演算

假設圓心為 (2, 3)、半徑為 5。則 D = −2(2) = −4、E = −2(3) = −6、F = 2² + 3² − 5² = 4 + 9 − 25 = −12。一般式即為 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0。

常見問題

半徑可以是 0 嗎？半徑為 0 表示一個點（退化的圓）；公式依然成立，此時 F = h² + k²。

為什麼 F 有時候是負的？F = h² + k² − r²。當半徑相對於圓心到原點的距離較大時，F 就會變成負值，這是正常現象。

要怎麼換回標準式？使用 h = −D/2、k = −E/2、r = √(h² + k² − F) 即可。