什麼是圓的標準方程式？
圓是平面上與某個定點距離相等的所有點所構成的圖形，這個固定距離就是半徑 \(r\)，而那個定點稱為圓心，以座標 (h, k) 表示。圓方程式的標準式（也稱為圓心－半徑式）為 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)。只要輸入圓心與半徑，本計算機就會立刻寫出方程式，同時算出直徑、周長、面積，以及對應的一般式。
如何使用本計算機
依序輸入圓心的 x 座標 (h)、圓心的 y 座標 (k)，以及半徑 (r)。計算機會將這些數值直接代入標準式，並計算其他相關數據。若半徑為 0，圓會退化成單一個點，因此要畫出真正的圓，請輸入正的半徑值。
公式解析
標準式其實是直接由距離公式推導而來。圓上任一點 (x, y) 與圓心 (h, k) 的距離都等於 \(r\)，因此 \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\)。將兩邊平方後即得
$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$把它展開後就會得到一般式 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)，其中 \(D = -2h\)、\(E = -2k\)、\(F = h^2 + k^2 - r^2\)。
範例演算
假設圓心為 (3, −2)、半徑為 5。標準方程式為
$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$化簡後即 \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\)。直徑為 \(2 \times 5 = 10\)，周長為 \(2\pi(5) \approx 31.42\)，面積為 \(\pi(5^2) \approx 78.54\)。以一般式表示：\(D = -6\)、\(E = 4\)、\(F = 9 + 4 - 25 = -12\)，因此方程式為 \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)。
常見問題
如果圓心在原點怎麼辦？當 \(h = 0\) 且 \(k = 0\) 時，方程式會化簡為 \(x^2 + y^2 = r^2\)。
如何從標準方程式求半徑？等號右邊就是 \(r^2\)，因此只要開平方根即可得到 \(r\)。
半徑可以是負數嗎？不行。半徑代表一段距離，必須為零或正數；由於方程式只用到 \(r^2\)，輸入負值並不會對應到任何真實的圓。
