ما هي المعادلة القياسية للدائرة؟
الدائرة هي مجموعة كل النقاط في المستوى التي تبعد مسافة ثابتة — وهي نصف القطر r — عن نقطة ثابتة تُسمّى المركز، ويُرمز لإحداثياتها بـ (h، k). والصيغة القياسية (أو صيغة المركز ونصف القطر) لمعادلة الدائرة هي $$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^2$$ تبني هذه الحاسبة تلك المعادلة في لحظة انطلاقًا من المركز ونصف القطر اللذين تُدخلهما، كما تعرض لك القطر والمحيط والمساحة والصيغة العامة المكافئة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الإحداثي السيني للمركز \(h\)، والإحداثي الصادي للمركز \(k\)، ونصف القطر \(r\). تعوّض الحاسبة هذه القيم مباشرة في الصيغة القياسية وتحسب القياسات الإضافية. ولأن نصف القطر إذا كان صفرًا تتقلّص الدائرة إلى نقطة واحدة، فاحرص على استخدام نصف قطر موجب للحصول على دائرة حقيقية.
شرح المعادلة
تُشتقّ الصيغة القياسية مباشرة من قانون المسافة بين نقطتين. فالمسافة بين أي نقطة \((x, y)\) على الدائرة والمركز \((h, k)\) تساوي \(r\)، أي أن \(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\). وبتربيع الطرفين نحصل على $$\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 = r^2$$ وعند فكّ هذه المعادلة نصل إلى الصيغة العامة \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)، حيث \(D = -2h\)، وَ\(E = -2k\)، وَ\(F = h^2 + k^2 - r^2\).
مثال محلول
لنفترض أن المركز هو \((3, -2)\) وأن نصف القطر يساوي 5. عندئذٍ تكون المعادلة القياسية \(\left(x - 3\right)^2 + \left(y - (-2)\right)^2 = 5^2\)، وتُبسَّط إلى $$\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 = 25$$ أما القطر فهو \(2 \times 5 = 10\)، والمحيط \(2\pi(5) \approx 31.42\)، والمساحة \(\pi(5^2) \approx 78.54\). وفي الصيغة العامة: \(D = -6\)، وَ\(E = 4\)، وَ\(F = 9 + 4 - 25 = -12\)، فتصبح $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المركز عند نقطة الأصل؟ عندما يكون \(h = 0\) وَ\(k = 0\)، تتبسّط المعادلة إلى \(x^2 + y^2 = r^2\).
كيف أوجد نصف القطر من المعادلة القياسية؟ الطرف الأيمن يساوي \(r^2\)، لذا خُذ جذره التربيعي لتحصل على \(r\).
هل يمكن أن يكون نصف القطر سالبًا؟ لا. نصف القطر مسافة، فلا بد أن يكون صفرًا أو قيمة موجبة؛ والمعادلة تستخدم \(r^2\) فقط، لذا فإن إدخال قيمة سالبة لا يصف أي دائرة حقيقية.
