円の標準形の方程式とは？
円とは、平面上で「ある定点から一定の距離にある点」をすべて集めたものです。この一定の距離が半径 \(r\)、定点が中心で、座標 (h, k) で表します。円の方程式の標準形（中心・半径形）は $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ です。このツールでは、入力した中心と半径からこの方程式をその場で組み立て、あわせて直径・円周・面積、そして同じ円を表す一般形も求めます。
このツールの使い方
中心のx座標 (h)、中心のy座標 (k)、半径 (r) を入力してください。入力値をそのまま標準形に代入し、さらに各種の数値も計算します。半径が0の場合、円は1つの点につぶれてしまうため、本来の円を表すには正の値を指定してください。
公式のしくみ
標準形は、2点間の距離の公式からそのまま導かれます。円周上の任意の点 (x, y) と中心 (h, k) との距離が \(r\) に等しいので、\(\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r\) が成り立ちます。両辺を2乗すると $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ となります。これを展開すると一般形 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) が得られ、\(D = -2h\)、\(E = -2k\)、\(F = h^2 + k^2 - r^2\) となります。
計算例
中心が (3, −2)、半径が 5 だとします。標準形の方程式は \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\) となり、整理すると $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$ です。直径は \(2 \times 5 = 10\)、円周は \(2\pi(5) \approx 31.42\)、面積は \(\pi(5^2) \approx 78.54\) です。一般形では \(D = -6\)、\(E = 4\)、\(F = 9 + 4 - 25 = -12\) となり、$$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ が得られます。
よくある質問
中心が原点にある場合は？ \(h = 0\)、\(k = 0\) のとき、方程式は \(x^2 + y^2 = r^2\) に簡略化されます。
標準形の方程式から半径を求めるには？ 右辺が \(r^2\) に等しいので、その平方根をとれば \(r\) が求められます。
半径を負にできますか？ いいえ。半径は距離なので、0以上でなければなりません。方程式では \(r^2\) しか使わないため、負の値を入れても実在する円は表せません。
