この計算ツールでできること
円の方程式には2つの書き方があります。標準形（中心・半径形ともいいます）は \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) で表され、中心 \((h, k)\) と半径 \(r\) がひと目でわかります。一方、一般形は \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) という形で、円の中心や半径の情報が3つの係数の中に隠れています。このツールは、入力した中心と半径から D・E・F を計算し、標準形を一般形へ変換します。
使い方
中心の座標 h と k、続いて半径 r を入力してください。一般形の完全な方程式と、各係数の値が表示されます。値は正・負・ゼロのいずれでもよく、小数にも対応しています。
計算式の解説
標準形を展開すると、次の関係式が得られます。
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}$$
これらを \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) に代入し直すと、ちょうど \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) に戻ります。つまりこの変換は正確で、可逆的（元に戻せる）です。
計算例
中心を \((2, 3)\)、半径を \(5\) とします。すると $$D = -2(2) = -4, \quad E = -2(3) = -6, \quad F = 2^{2} + 3^{2} - 5^{2} = 4 + 9 - 25 = -12$$ となります。したがって一般形は $$x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0$$ です。
よくある質問
半径を 0 にできますか？ 半径 0 は1つの点を表します（退化した円）。この場合でも計算式は成り立ち、\(F = h^{2} + k^{2}\) になります。
F が負になることがあるのはなぜですか？ \(F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\) で計算されます。原点から中心までの距離に比べて半径が大きいと F は負になりますが、これは正常な結果です。
一般形から標準形に戻すには？ \(h = -D/2\)、\(k = -E/2\)、\(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\) を使ってください。
