這個計算器的功能
同一個二次函數可以用兩種等價的方式表示。頂點式 \(a(x-h)^{2}+k\) 能讓你一眼看出頂點座標 \((h, k)\)；一般式 \(ax^{2}+bx+c\) 則方便套用公式解、或直接讀出 y 軸截距。本工具會把頂點式中的平方項展開、合併同類項，幫你快速轉換成一般式。
使用方式
輸入頂點式的三個參數：a（首項係數，決定拋物線的開口寬窄與朝向）、h（頂點的 x 座標）、以及 k（頂點的 y 座標）。計算器會回傳一般式的係數 a、b、c，讓你直接寫出 $$y = ax^{2} + bx + c$$
公式說明
從 \(a(x-h)^{2} + k\) 開始。先展開平方：\((x-h)^{2} = x^{2} - 2hx + h^{2}\)。接著乘上 \(a\)：\(a x^{2} - 2ah\,x + a h^{2}\)。再加上 \(k\) 作為常數項。合併之後可得：
a 維持不變，\(b = -2ah\)，\(c = a\cdot h^{2} + k\)。
實際範例
將 \(y = 2(x - 3)^{2} + 5\) 轉換成一般式。此時 \(a = 2\)、\(h = 3\)、\(k = 5\)。代入後得 $$b = -2(2)(3) = -12$$ $$c = 2(3^{2}) + 5 = 18 + 5 = 23$$ 因此一般式為 $$y = 2x^{2} - 12x + 23$$
常見問題
如果 \(a = 0\) 會怎樣？那它就不是二次函數了，會退化成常數 \(y = k\)，一般式中也不會有 \(x^{2}\) 或 \(x\) 項。
轉換後頂點會改變嗎？不會。兩種形式描述的是完全相同的拋物線，改變的只是寫法而已。
為什麼 h 為正時 b 卻是負的？因為 \(b = -2ah\)，當頂點 x 座標為正、a 也為正時，中間項係數自然會變成負值。
