ماذا تفعل هذه الحاسبة
يمكن كتابة الدالة التربيعية بطريقتين متكافئتين. صيغة الرأس، وهي \(a(x-h)^{2}+k\)، تجعل قراءة إحداثيات الرأس (h، k) سهلة ومباشرة. أما الصيغة القياسية، وهي \(ax^{2}+bx+c\)، فهي عملية عند استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية أو عند قراءة نقطة تقاطع المنحنى مع محور y. تقوم هذه الأداة بتحويل صيغة الرأس إلى الصيغة القياسية عن طريق فك المربع وجمع الحدود المتشابهة.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة لصيغة الرأس: a (المعامل الرئيسي الذي يتحكم في اتساع القطع المكافئ واتجاه فتحته)، وh (الإحداثي السيني للرأس)، وk (الإحداثي الصادي للرأس). تُعيد الحاسبة معاملات الصيغة القياسية a وb وc لتتمكن من كتابة المعادلة على الشكل $$y = ax^{2} + bx + c.$$
شرح القانون
نبدأ من \(a(x-h)^{2} + k\). نفك المربع: \((x-h)^{2} = x^{2} - 2hx + h^{2}\). نضرب في a فنحصل على: \(a x^{2} - 2ah\, x + a h^{2}\). ثم نضيف k لنحصل على الحد الثابت. وبجمع الحدود نصل إلى:
المعامل a يبقى كما هو، وb = −2ah، وc = a·h² + k.
مثال محلول
لنحوّل المعادلة \(y = 2(x - 3)^{2} + 5\). هنا a = 2، وh = 3، وk = 5. إذن $$b = -2(2)(3) = -12,$$ و $$c = 2(3^{2}) + 5 = 18 + 5 = 23.$$ وبذلك تكون الصيغة القياسية هي $$y = 2x^{2} - 12x + 23.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت a = 0؟ عندئذٍ لا تكون المعادلة تربيعية، بل تتحول إلى ثابت \(y = k\)، ولا تحتوي الصيغة القياسية على حد \(x^{2}\) أو حد x.
هل يتغير الرأس بعد التحويل؟ لا. فالصيغتان تصفان القطع المكافئ نفسه تمامًا، والذي يتغير هو طريقة الكتابة فقط.
لماذا يكون b سالبًا عندما تكون h موجبة؟ لأن \(b = -2ah\)، فإن إحداثيًا سينيًا موجبًا للرأس مع قيمة موجبة لـ a يُنتج معاملًا أوسطَ سالبًا.
