À quoi sert ce calculateur
Une fonction du second degré peut s'écrire de deux façons équivalentes. La forme canonique, \(a(x-h)^{2}+k\), permet de lire immédiatement les coordonnées du sommet \((h, k)\). La forme développée, \(ax^{2}+bx+c\), est plus pratique pour appliquer la formule du discriminant ou repérer l'ordonnée à l'origine. Cet outil passe de la forme canonique à la forme développée en développant le carré puis en regroupant les termes semblables.
Comment l'utiliser
Renseignez les trois paramètres de la forme canonique : a (le coefficient dominant, qui détermine l'ouverture et l'orientation de la parabole), h (l'abscisse du sommet) et k (l'ordonnée du sommet). Le calculateur vous renvoie les coefficients a, b et c de la forme développée, afin que vous puissiez écrire $$y = ax^{2} + bx + c.$$
La formule expliquée
On part de \(a(x-h)^{2} + k\). On développe le carré : \((x-h)^{2} = x^{2} - 2hx + h^{2}\). On multiplie par a : \(a x^{2} - 2ah\, x + a h^{2}\). On ajoute enfin k pour obtenir le terme constant. En regroupant les termes, on aboutit à :
a reste inchangé, \(b = -2ah\), \(c = a\cdot h^{2} + k\).
$$\begin{gathered} y = ax^{2} + bx + c \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{a} \\ b &= -2\,\text{a}\,\text{h} \\ c &= \text{a}\,\text{h}^{2} + \text{k} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple détaillé
Convertissons \(y = 2(x - 3)^{2} + 5\). Ici, \(a = 2\), \(h = 3\), \(k = 5\). On obtient alors $$b = -2(2)(3) = -12,$$ et $$c = 2(3^{2}) + 5 = 18 + 5 = 23.$$ La forme développée est donc \(y = 2x^{2} - 12x + 23\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(a = 0\) ? Dans ce cas, ce n'est plus une fonction du second degré : elle se réduit à une constante \(y = k\), et la forme développée ne comporte ni terme en \(x^{2}\) ni terme en \(x\).
Le sommet change-t-il après conversion ? Non. Les deux écritures décrivent exactement la même parabole ; seule la manière de l'exprimer change.
Pourquoi b est-il négatif quand h est positif ? Parce que \(b = -2ah\) : une abscisse de sommet positive associée à un a positif donne nécessairement un coefficient central négatif.
