यह कैलकुलेटर क्या करता है
किसी भी द्विघात फलन को दो समान रूपों में लिखा जा सकता है। वर्टेक्स फॉर्म, \(a(x-h)^2+k\), में शीर्ष (vertex) यानी \((h, k)\) सीधे पढ़ा जा सकता है। वहीं स्टैंडर्ड फॉर्म, \(ax^2+bx+c\), द्विघात सूत्र (quadratic formula) लगाने या y-अक्ष पर कटान बिंदु (y-intercept) देखने के लिए सुविधाजनक रहता है। यह टूल वर्ग वाले पद का विस्तार करके और समान पदों को जोड़कर वर्टेक्स फॉर्म को स्टैंडर्ड फॉर्म में बदल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
वर्टेक्स फॉर्म के तीन मान भरें: a (मुख्य गुणांक, जो परवलय की चौड़ाई और दिशा तय करता है), h (शीर्ष का x-निर्देशांक) और k (शीर्ष का y-निर्देशांक)। कैलकुलेटर आपको स्टैंडर्ड फॉर्म के गुणांक a, b और c लौटा देगा, ताकि आप \(y = ax^2 + bx + c\) लिख सकें।
सूत्र की व्याख्या
शुरुआत करें \(a(x-h)^2 + k\) से। वर्ग का विस्तार करें: \((x-h)^2 = x^2 - 2hx + h^2\)। इसे a से गुणा करें: \(a x^2 - 2ah\,x + a h^2\)। अब इसमें k जोड़ने पर अचर पद (constant term) मिलता है। समान पदों को जोड़ने पर हमें मिलता है:
$$y = ax^{2} + bx + c \quad\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= a \\ b &= -2ah \\ c &= ah^{2} + k \end{aligned} \right.$$
a वही रहता है, \(b = -2ah\), और \(c = a\cdot h^2 + k\)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए हमें \(y = 2(x - 3)^2 + 5\) को बदलना है। यहाँ \(a = 2\), \(h = 3\), \(k = 5\)। तो \(b = -2(2)(3) = -12\), और \(c = 2(3^2) + 5 = 18 + 5 = 23\)। इस प्रकार स्टैंडर्ड फॉर्म होगा \(y = 2x^2 - 12x + 23\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(a = 0\) हो तो क्या होगा? तब यह द्विघात रह ही नहीं जाता — यह घटकर एक अचर \(y = k\) बन जाता है, और स्टैंडर्ड फॉर्म में न \(x^2\) का पद होता है और न x का।
क्या बदलने के बाद शीर्ष (vertex) बदल जाता है? नहीं। दोनों रूप बिल्कुल एक ही परवलय को दर्शाते हैं; केवल उसे लिखने का तरीका बदलता है।
धनात्मक h के लिए b ऋणात्मक क्यों आता है? क्योंकि \(b = -2ah\) होता है — धनात्मक a के साथ शीर्ष का धनात्मक x-निर्देशांक मध्य गुणांक को ऋणात्मक बना देता है।
