Калькулятор канонического уравнения эллипса

Введите расчет

Центр x (h)

Центр y (k)

Полуось a (вдоль оси x)

Полуось b (вдоль оси y)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Area, Perimeter, Foci & Eccentricity

   

   A = max(a,b), B = min(a,b); area uses a and b; perimeter is the Ramanujan approximation

Результатов

Каноническое уравнение

(x - 0)² / 5² + (y - 0)² / 3² = 1

Center (0, 0)

Большая полуось (A)	5
Малая полуось (B)	3
Фокальное расстояние (c)	4
Эксцентриситет (e)	0,8
Площадь	47,1239
Периметр (≈)	25,527

Что такое калькулятор канонического уравнения эллипса?

Этот калькулятор составляет каноническое уравнение эллипса по координатам его центра и двум полуосям. Канонический (стандартный) вид позволяет сразу определить центр, ориентацию и размеры эллипса и служит отправной точкой для вычисления фокусов, площади, периметра и эксцентриситета. Инструмент подходит для любого эллипса, оси которого параллельны осям координат, и является полностью универсальным — это чистая математика, не привязанная к какой-либо стране или правилам.

Как пользоваться калькулятором

Введите координаты центра h (по оси x) и k (по оси y), а затем две полуоси: a вдоль оси x и b вдоль оси y. Калькулятор соберёт уравнение и покажет большую полуось A, малую полуось B, фокальное расстояние c, эксцентриситет e, площадь и приближённое значение периметра.

Разбор формулы

Каноническое уравнение выглядит так:

$$\frac{\left(x - \text{h}\right)^2}{\text{a}^{\,2}} + \frac{\left(y - \text{k}\right)^2}{\text{b}^{\,2}} = 1$$

Бо́льшая из величин a и b — это большая полуось A, меньшая — малая полуось B. Расстояние от центра до каждого фокуса равно \(c = \sqrt{A^2 - B^2}\), эксцентриситет \(e = c / A\) (от 0 для окружности до значения, близкого к 1, для сильно вытянутого эллипса), площадь равна \(\pi\cdot a\cdot b\), а периметр вычисляется по точной формуле Рамануджана: \(P \approx \pi(A + B)\cdot\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)\), где \(h = \frac{(A - B)^2}{(A + B)^2}\).

Строение эллипса: центр (h,k), полуоси a и b и два фокуса.

Пример расчёта

Для центра (2, −1) при a = 5 и b = 3 уравнение принимает вид $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 1)^2}{3^2} = 1.$$ Здесь A = 5, B = 3, поэтому \(c = \sqrt{25 - 9} = 4\), эксцентриситет \(e = 4/5 = 0{,}8\), площадь \(= \pi\cdot 5\cdot 3 \approx 47{,}12\), а периметр \(\approx 25{,}53\).

Разобранный пример эллипса, построенного по центру и полуосям.

Часто задаваемые вопросы

Какая ось считается «большой»? Та, чья полуось больше. Если a > b, большая ось горизонтальна; если b > a — вертикальна.

Что будет, если a = b? Эллипс превращается в окружность, эксцентриситет равен 0, а оба фокуса совпадают с центром.

Точен ли периметр? Точной формулы в элементарных функциях не существует; здесь используется приближение Рамануджана, погрешность которого для типичных эллипсов значительно меньше 0,01 %.