球座標から円柱座標への変換ツールとは
このツールは、球座標で表された3次元の点を円柱座標へ変換します。採用しているのは物理学やISOで一般的に用いられる方式で、r は原点からの動径距離、θ は x-y 平面内で測る方位角、φ は正の z 軸からの角度(天頂角)を表します。なお、数学の教科書によっては θ と φ の役割が入れ替わっている場合があるため、参照している資料がどちらの方式を採用しているかを必ず確認してください。
使い方
動径距離 r、方位角 θ、天頂角 φ を入力します。角度単位のセレクターで、角度を度数法(度)と弧度法(ラジアン)のどちらで入力するかを選んでください(両方の角度に適用されます)。必要に応じて表示する桁数を指定することもできます。計算結果として、円柱座標の半径 ρ、方位角 θ(変化なし)、軸方向の高さ z が表示されます。
計算式の解説
方位角 \(\theta\) は両方の座標系で共通のため、そのまま引き継がれます。残りの2つの座標は、動径距離を z 軸方向およびそれに垂直な方向へ射影することで求められます。
$$\rho = r \cdot \sin(\phi)$$
$$\theta = \theta\ (\text{変化なし})$$
$$z = r \cdot \cos(\phi)$$
内部処理では、三角関数がラジアンを前提とするため、角度はまずラジアンに変換されます(度数法の場合は \(\frac{\pi}{180}\) を掛けます)。
計算例
\(r = 5\)、\(\theta = 60°\)、\(\phi = 30°\) の場合を考えます。φ をラジアンに変換すると $$30 \times \frac{\pi}{180} = 0.5236\ \text{rad}$$ となります。$$\rho = 5 \times \sin(30°) = 5 \times 0.5 = 2.5$$ 方位角は 60° のまま、$$z = 5 \times \cos(30°) = 5 \times 0.8660254 = 4.330127$$ となります。したがって、円柱座標で表すと \((2.5, 60°, 4.330127)\) になります。
よくある質問
なぜ θ は変化しないのですか? 球座標系と円柱座標系は、x-y 平面内の方位角を共通して使用します。そのため θ は同一であり、そのまま引き継がれます。
φ = 0 のときはどうなりますか? 点は正の z 軸上にあり、\(\rho = 0\)、\(z = r\) となります。φ = 90° のときは点が x-y 平面内にあり(\(\rho = r\)、\(z = 0\))、φ = 180° のときは負の z 軸上(\(\rho = 0\)、\(z = -r\))にあります。
ρ が負になることはありますか? \(0 \le \phi \le 180°\) の範囲では \(\sin(\phi)\) は非負となるため、ρ は常に 0 以上です。標準的には φ を \([0, 180°]\) の範囲に収めて扱います。
