Công cụ này làm được gì
Công cụ phân tích mọi hàm số bậc hai viết ở dạng chuẩn \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Bằng cách hoàn thành bình phương, bất kỳ hàm bậc hai nào cũng có thể viết lại thành \(f(x) = a(x - h)^2 + k\), trong đó \((h, k)\) chính là tọa độ đỉnh của parabol. Máy tính sẽ tìm tọa độ đỉnh này và cho bạn biết đó là điểm cực tiểu hay cực đại.
Cách sử dụng
Nhập ba hệ số \(a\), \(b\) và \(c\). Lưu ý hệ số \(a\) phải khác 0 (nếu \(a = 0\) thì biểu thức trở thành hàm bậc nhất, không phải hàm bậc hai nữa). Bấm tính toán để xem hoành độ đỉnh, giá trị cực trị, và biết parabol quay bề lõm lên trên (có giá trị nhỏ nhất) hay xuống dưới (có giá trị lớn nhất).
Giải thích công thức
Hoành độ đỉnh được tính bằng $$x^* = -\frac{b}{2a}.$$ Thay giá trị này trở lại vào hàm số ta được giá trị cực trị $$k = c - \frac{b^2}{4a}.$$ Khi \(a > 0\), parabol quay bề lõm lên trên nên điểm đỉnh là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu). Khi \(a < 0\), parabol quay bề lõm xuống dưới nên điểm đỉnh là giá trị lớn nhất (cực đại).
Ví dụ minh họa
Xét hàm \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), tức là \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Hoành độ đỉnh là $$\frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ Giá trị cực trị là $$3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Vì \(a > 0\) nên đây là giá trị nhỏ nhất, đạt tại điểm \((2, -1)\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu \(a = 0\) thì sao? Khi đó hàm số là hàm bậc nhất và không có đỉnh; máy tính sẽ báo lỗi trường hợp này.
Giá trị cực trị có phải là tung độ của đỉnh không? Đúng vậy. Tọa độ đỉnh là \((x^*, \text{giá trị cực trị})\).
Điều này liên quan thế nào đến việc hoàn thành bình phương? Hoàn thành bình phương chính là viết lại \(ax^2 + bx + c\) thành \(a(x - h)^2 + k\), với \(h = x^*\) và \(k = \text{giá trị cực trị}\).
