什麼是四角錐數？
四角錐數（square pyramidal number，又稱平方金字塔數）計算的是：當你把球（或單位球、立方體）堆成一個以正方形為底的金字塔時，總共會用到多少顆球。最頂層只有 1 顆球，往下一層是 \(2\times2 = 4\) 顆排成的正方形，第三層是 \(3\times3 = 9\) 顆，而 \(n\) 層金字塔最底層則是 \(n\times n\) 顆球。把每一層加總起來，就得到四角錐數 \(P(n)\)。這個數列從 0、1、5、14、30、55、91、140… 開始，收錄於整數數列線上大全（OEIS）編號 A000330。
如何使用這個計算機
只要輸入堆疊的層數 \(n\)（非負整數），計算機就會回傳 \(P(n)\)，也就是整座金字塔的球體總數。無論是疊砲彈的經典謎題、水果攤的柳橙堆疊陳列、課堂上的數論練習，或是任何需要快速求出「前 \(n\) 個完全平方數之和」的情境，都能派上用場。
公式說明
依定義，\(P(n)\) 就是前 \(n\) 個平方數的總和：\(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\)。這個總和有一個簡潔的封閉公式：
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
乘積 \(n(n + 1)(2n + 1)\) 必定可被 6 整除，所以對任何整數 \(n\) 來說，結果都是精確的整數。\(P(0) = 0\) 代表空無一物的堆疊；而負的層數在實際上並沒有意義（本計算機一律視為 0 處理）。
範例演算
假設你要堆 4 層。直接把平方數相加：\(1 + 4 + 9 + 16 = 30\)。改用封閉公式驗算：$$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30$$ 顆球。再用較大的數字檢查一次：當 \(n = 10\) 時，結果為 $$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$ 顆球。
常見問題
\(n = 0\) 時會怎樣？\(P(0) = 0\)，代表一座沒有任何球的空金字塔。
\(n\) 可以是分數嗎？封閉公式仍然算得出數值，但四角錐數只有在「非負整數層數」時才具有實際意義。
它成長得有多快？當 \(n\) 很大時，數值大約以 \(n^3\) 除以 3 的速度增長，因此愈高的堆疊，所含的球數就愈是驚人。
