什么是四角锥数？
四角锥数（square pyramidal number）表示把小球（或单位球、立方体）堆成一个方形底金字塔时，所用到的小球总数。最顶层只有 1 个球，第二层是 \(2\times2=4\) 个球组成的正方形，第三层是 \(3\times3=9\) 个，而 n 层金字塔的最底层则有 \(n\times n\) 个球。把每一层加起来，就得到四角锥数 P(n)。这个数列从 0、1、5、14、30、55、91、140…… 开始，在整数序列在线百科（OEIS）中编号为 A000330。
如何使用本计算器
输入堆叠的层数 n（非负整数），计算器即可返回 P(n)，也就是整座金字塔中小球的总数。无论是炮弹堆叠的趣味数学题、橙子或水果的陈列摆放、课堂上的数论练习，还是任何需要快速求出「前 n 个完全平方数之和」的场合，都可以用它来计算。
公式详解
按定义，P(n) 就是前 n 个平方数之和：\(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\)。这个和有一个简洁的闭式公式：
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
乘积 \(n(n + 1)(2n + 1)\) 必定能被 6 整除，因此对任意整数 n，结果都是精确的整数。\(P(0) = 0\) 表示空堆（没有任何球），而层数为负数在物理上没有意义（这里一律按 0 处理）。
计算示例
假设你堆了 4 层。逐层平方相加：\(1 + 4 + 9 + 16 = 30\)。用闭式公式：$$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30$$ 个球。再验证一个更大的例子：当 \(n = 10\) 时，结果为 $$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$ 个球。
常见问题
当 n = 0 时会怎样？ \(P(0) = 0\)，表示一座没有任何小球的空金字塔。
n 可以是分数吗？ 闭式公式仍然能算出一个数值，但只有当层数为非负整数时，四角锥数才具有实际的物理意义。
它增长得有多快？ 当 n 很大时，其数值大致按 n³ 除以 3 的规模增长，因此非常高的堆叠会包含数量极其庞大的小球。
