配方法补项计算器

输入计算

系数 b（x² + bx 中一次项的系数）

结果

配方所需补上的常数 (b/2)²

9

将此常数加到 x² + bx 上

系数 b	6
b / 2	3
需加上的 (b/2)²	9
完全平方形式	(x + 3)²

这个计算器能做什么

配方法（completing the square，即"凑成完全平方"）是代数中的一项核心技巧，常用于解一元二次方程、绘制抛物线图像，以及推导求根公式。对于形如 x² + bx 的式子，只要加上一个特定的常数 \((b/2)^2\)，就能把它凑成完全平方。本计算器只需输入系数 b，即可立即给出这个常数，同时还会显示 \(b/2\) 的值以及配方后的完全平方形式。

使用方法

先把式子整理成 \(x^2 + bx\) 的形式，找出一次项（x 的项）的系数。把这个值填入 b 即可——它可以是正数、负数或小数。计算器会算出你需要加上的常数 \((b/2)^2\)，并给出因式分解后的形式 \((x + b/2)^2\)。

公式原理

完全平方三项式的形式为 \((x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\)。把 \(x^2 + bx\) 与 \(x^2 + 2kx\) 对照，可得 \(2k = b\)，即 \(k = b/2\)。因此所缺的常数就是 \(k^2 = (b/2)^2\)。加上它之后，式子就恰好成为一个完全平方：

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

几何视角：缺失的角上正方形面积为 \((b/2)^2\)，正是配方所需补上的数。

例题演示

假设式子为 \(x^2 + 6x\)。此时 \(b = 6\)，所以 \(b/2 = 3\)，\((b/2)^2 = 9\)。加上 9 后得到 \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)。如果原方程是 \(x^2 + 6x = 5\)，那么两边同时加上 9：\((x + 3)^2 = 14\)，再解得 \(x = -3 \pm \sqrt{14}\)。

步骤：把 b 减半，再平方，即得要加上的常数。

常见问题

如果 x² 项的系数不是 1 怎么办？ 先把首项系数化为 1，可以提取公因数或两边同除（例如 \(2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x)\)），再对括号内的 \(x^2 + 4x\) 进行配方。

b 是负数也能用吗？ 可以。平方会消去符号，所以 \((b/2)^2\) 始终是非负数。以 \(x^2 - 8x\) 为例，\(b = -8\)，\(b/2 = -4\)，需要加上 16。

遇到分数或小数呢？ 小数和分数都没问题；例如 \(x^2 + 3x\) 需要加上 \((1.5)^2 = 2.25\)。