Calculatrice de complétion du carré

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Coefficient b (le terme linéaire dans x² + bx)

Résultats

Valeur pour compléter le carré (b/2)²

9

ajoutez cette constante à x² + bx

Coefficient b	6
b / 2	3
(b/2)² à ajouter	9
Forme du carré parfait	(x + 3)²

Ce que fait cette calculatrice

La complétion du carré est une technique fondamentale de l'algèbre : elle sert à résoudre des équations du second degré, à tracer des paraboles et à démontrer la formule du discriminant. Pour une expression de la forme x² + bx, on complète le carré en ajoutant une constante bien précise : \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\). Cette calculatrice prend votre coefficient b et vous renvoie immédiatement cette constante, ainsi que \(\frac{b}{2}\) et la forme canonique carrée obtenue.

Comment l'utiliser

Repérez le coefficient du terme linéaire (en x) dans une expression déjà écrite sous la forme x² + bx. Saisissez cette valeur comme b — elle peut être positive, négative ou décimale. La calculatrice renvoie le nombre \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) à ajouter et affiche la forme factorisée \(\left(x + \frac{b}{2}\right)^{2}\).

La formule expliquée

Un trinôme carré parfait s'écrit \((x + k)^{2} = x^{2} + 2kx + k^{2}\). En comparant \(x^{2} + bx\) à \(x^{2} + 2kx\), on voit que \(2k = b\), donc \(k = \frac{b}{2}\). La constante manquante vaut donc \(k^{2} = \left(\frac{b}{2}\right)^{2}\). En l'ajoutant, l'expression devient un carré exact :

$$x^{2} + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \left(x + \frac{b}{2}\right)^{2}$$

Vue géométrique : le carré d'angle manquant a une aire de \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\), le nombre qui complète le carré.

Exemple détaillé

Supposons que vous ayez \(x^{2} + 6x\). Ici \(b = 6\), donc \(\frac{b}{2} = 3\) et \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2} = 9\). En ajoutant 9, on obtient

$$x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$$

Si vous partez de l'équation \(x^{2} + 6x = 5\), vous ajoutez 9 des deux côtés : \((x + 3)^{2} = 14\), puis vous résolvez \(x = -3 \pm \sqrt{14}\).

Le procédé : diviser b par deux, puis l'élever au carré pour obtenir la constante ajoutée.

FAQ

Que faire si le terme en x² a un coefficient autre que 1 ? Commencez par factoriser ou diviser pour ramener le coefficient dominant à 1 (par exemple \(2x^{2} + 8x = 2(x^{2} + 4x)\)), puis complétez le carré sur l'intérieur, soit \(x^{2} + 4x\).

Cela fonctionne-t-il avec un b négatif ? Oui. L'élévation au carré supprime le signe, donc \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) est toujours positif ou nul. Pour \(x^{2} - 8x\), on a \(b = -8\), \(\frac{b}{2} = -4\), et l'on ajoute 16.

Et avec des fractions ? Les nombres décimaux et les fractions fonctionnent sans problème ; pour \(x^{2} + 3x\), vous ajoutez \((1{,}5)^{2} = 2{,}25\).