यह कैलकुलेटर क्या करता है
वर्ग पूर्ण करना (completing the square) बीजगणित की एक बुनियादी तकनीक है, जिसका इस्तेमाल द्विघात समीकरण हल करने, परवलय (parabola) का ग्राफ बनाने और द्विघात सूत्र निकालने में होता है। x² + bx रूप के व्यंजक में वर्ग पूर्ण करने के लिए आप एक खास स्थिरांक जोड़ते हैं: \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\)। यह कैलकुलेटर आपके गुणांक b को लेकर तुरंत वही स्थिरांक लौटाता है, साथ ही \(\frac{b}{2}\) और बनने वाला पूर्ण-वर्ग रूप भी दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ऐसे व्यंजक में, जो पहले से x² + bx के रूप में लिखा हो, रैखिक (x वाले) पद का गुणांक पहचानें। उस मान को b के रूप में डालें — यह धनात्मक, ऋणात्मक या दशमलव कुछ भी हो सकता है। कैलकुलेटर आपको वह संख्या \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) बताता है जिसे आपको जोड़ना है, और गुणनखंड रूप \(\left(x + \frac{b}{2}\right)^{2}\) भी दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
एक पूर्ण वर्ग त्रिपद इस तरह दिखता है: \((x + k)^{2} = x^{2} + 2kx + k^{2}\)। x² + bx की तुलना x² + 2kx से करने पर पता चलता है कि \(2k = b\), यानी \(k = \frac{b}{2}\)। इसलिए छूटा हुआ स्थिरांक है $$\text{Term} = \left(\frac{\text{Coefficient }b}{2}\right)^{2}$$ इसे जोड़ने पर व्यंजक एक सटीक वर्ग बन जाता है: $$x^{2} + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \left(x + \frac{b}{2}\right)^{2}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आपके पास x² + 6x है। यहाँ \(b = 6\), तो \(\frac{b}{2} = 3\) और \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2} = 9\)। 9 जोड़ने पर मिलता है $$x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$$ अगर आपने समीकरण x² + 6x = 5 से शुरुआत की हो, तो आप दोनों ओर 9 जोड़ेंगे: \((x + 3)^{2} = 14\), और फिर हल करेंगे \(x = -3 \pm \sqrt{14}\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर x² पद का गुणांक 1 के अलावा कुछ और हो तो? पहले गुणनखंड निकालें या भाग दें ताकि अग्रणी गुणांक 1 हो जाए (जैसे \(2x^{2} + 8x = 2(x^{2} + 4x)\)), फिर अंदर वाले x² + 4x पर वर्ग पूर्ण करें।
क्या यह ऋणात्मक b के साथ काम करता है? हाँ। वर्ग करने से चिह्न हट जाता है, इसलिए \(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) हमेशा अऋणात्मक रहता है। x² − 8x के लिए \(b = -8\), \(\frac{b}{2} = -4\), और आप 16 जोड़ेंगे।
भिन्नों का क्या? दशमलव और भिन्न दोनों बढ़िया काम करते हैं; x² + 3x के लिए आप \((1.5)^{2} = 2.25\) जोड़ेंगे।
