द्विघात का पूर्ण गुणनखंड रूप कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

गुणांक a

गुणांक b

गुणांक c

द्विघात ax² + bx + c के लिए। गुणांक a शून्य नहीं होना चाहिए।

परिणाम

गुणनखंड रूप

1(x − 3)(x − 2)

वास्तविक मूल

विविक्तकर (b² − 4ac)	1
मूल r₁	3
मूल r₂	2
अग्रणी गुणांक a	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल मानक रूप \(ax^2 + bx + c\) में लिखे किसी भी द्विघात व्यंजक को उसके पूर्ण गुणनखंड रूप \(a(x - r_1)(x - r_2)\) में बदल देता है। सबसे पहले यह द्विघात सूत्र की मदद से मूल \(r_1\) और \(r_2\) निकालता है, फिर द्विघात को अग्रणी गुणांक \(a\) से गुणित रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिख देता है। यह किसी भी वास्तविक गुणांक पर काम करता है — चाहे मूल अपरिमेय हों, भिन्न में हों या सम्मिश्र (complex) हों।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने द्विघात \(ax^2 + bx + c\) में से तीनों गुणांक \(a\), \(b\) और \(c\) दर्ज करें। गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए (वरना व्यंजक द्विघात नहीं, बल्कि रैखिक हो जाएगा)। 'गणना करें' पर क्लिक करते ही आपको गुणनखंड रूप के साथ-साथ विविक्तकर (discriminant) और प्रत्येक मूल भी दिख जाएगा।

सूत्र की व्याख्या

मूल द्विघात सूत्र $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ से प्राप्त होते हैं। वर्गमूल के भीतर वाली राशि, यानी \(b^2 - 4ac\), को विविक्तकर (discriminant) कहते हैं। जब यह धनात्मक होती है तो दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जब यह शून्य होती है तो एक ही दोहराया हुआ वास्तविक मूल मिलता है; और जब यह ऋणात्मक होती है तो मूल एक सम्मिश्र संयुग्मी (conjugate) जोड़ी के रूप में आते हैं। मूल पता चलते ही मूल द्विघात हमेशा ठीक \(a(x - r_1)(x - r_2)\) के रूप में गुणनखंडित हो जाता है।

मूल \(r_1\) और \(r_2\) परवलय के x-अंतःखंड हैं, और \(a\) इसका ऊर्ध्वाधर खिंचाव और दिशा तय करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(x^2 - 5x + 6\) (\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\))। विविक्तकर है $$(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$ मूल हैं \(\frac{5 \pm 1}{2}\), यानी \(r_1 = 3\) और \(r_2 = 2\)। इसलिए गुणनखंड रूप होगा \(1(x - 3)(x - 2)\), या सीधे-सीधे \((x - 3)(x - 2)\)।

विविक्तकर \(b^2 - 4ac\) तय करता है कि दो वास्तविक मूल हैं, एक दोहराया मूल है, या सम्मिश्र मूल हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर मूल पूर्ण संख्या न हों तो क्या होगा? कैलकुलेटर तब भी काम करता है — यह दशमलव में मूल देता है, और गुणनखंड रूप में उन्हीं दशमलव मानों का उपयोग होता है।

सम्मिश्र मूल आने पर क्या होता है? जब विविक्तकर ऋणात्मक होता है, तो परिणाम वास्तविक और काल्पनिक भागों के साथ एक संयुग्मी जोड़ी \(a \pm bi\) के रूप में दिखाया जाता है।

अग्रणी गुणांक a को आगे अलग क्यों रखा जाता है? \(a\) को बाहर निकालने से यह पक्का होता है कि गुणनखंड रूप को विस्तारित करने पर वह ठीक आपके मूल द्विघात के बराबर बने — इसमें \(a \neq 1\) से होने वाला खिंचाव भी शामिल है।