この計算ツールでできること
このツールは、標準形 \(ax^2 + bx + c\) で表されたあらゆる二次式を、完全な因数分解形 \(a(x - r_1)(x - r_2)\) に書き換えます。まず解の公式を使って2つの解 \(r_1\) と \(r_2\) を求め、次に最高次の係数 \(a\) を掛けた一次因子の積として二次式を表します。係数が実数でありさえすれば、解が無理数・分数・複素数になる場合でも対応できます。
使い方
二次式 \(ax^2 + bx + c\) の3つの係数 \(a\)、\(b\)、\(c\) を入力します。係数 \(a\) は0以外でなければなりません（0だと二次式ではなく一次式になってしまうためです）。「計算」をクリックすると、因数分解形に加えて、判別式とそれぞれの解が表示されます。
公式の解説
解は二次方程式の解の公式 $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ から求められます。平方根の中にある \(b^2 - 4ac\) を判別式と呼びます。判別式が正のときは異なる2つの実数解を持ち、0のときは重解（1つの実数解）を持ち、負のときは互いに共役な複素数解の組になります。解が分かれば、元の二次式は必ず \(a(x - r_1)(x - r_2)\) の形にぴったり因数分解できます。
計算例
\(x^2 - 5x + 6\)（\(a = 1\)、\(b = -5\)、\(c = 6\)）を例にしてみましょう。判別式は $$(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ です。解は \(\frac{5 \pm 1}{2}\) となり、\(r_1 = 3\)、\(r_2 = 2\) が得られます。したがって因数分解形は \(1(x - 3)(x - 2)\)、すなわち \((x - 3)(x - 2)\) となります。
よくある質問
解が整数にならない場合はどうなりますか？ その場合でも問題なく計算できます。解は小数で返され、因数分解形にもその小数が使われます。
複素数解になる場合は？ 判別式が負のときは、実部と虚部を用いた共役な複素数の組 \(a \pm bi\) として結果が表示されます。
なぜ最高次の係数 \(a\) を前に残すのですか？ \(a\) をくくり出しておくことで、\(a \neq 1\) による拡大も含めて、因数分解形を展開すると必ず元の二次式に戻ることが保証されるからです。
