Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Bu araç, standart biçimde yazılmış (\(ax^2 + bx + c\)) her ikinci derece ifadeyi tam çarpanlı biçimine, yani \(a(x - r_1)(x - r_2)\) biçimine dönüştürür. Önce ikinci derece denklem formülünü kullanarak \(r_1\) ve \(r_2\) köklerini bulur, ardından denklemi baş katsayı \(a\) ile çarpılan birinci dereceden çarpanların bir çarpımı olarak yazar. İşlem, kökler irrasyonel, kesirli veya karmaşık olsa bile tüm reel katsayılar için çalışır.
Nasıl Kullanılır?
\(ax^2 + bx + c\) denkleminizdeki \(a\), \(b\) ve \(c\) katsayılarını girin. \(a\) katsayısı sıfır olamaz (aksi takdirde ifade ikinci derece değil, birinci derece olur). Hesapla düğmesine tıklayarak çarpanlı biçimi, diskriminantı ve her bir kökü görüntüleyin.
Formülün Açıklaması
Kökler ikinci derece denklem formülünden gelir:
$$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Karekök içindeki ifade olan \(b^2 - 4ac\), diskriminant (ayırt edici) olarak adlandırılır. Diskriminant pozitif olduğunda iki farklı reel kök vardır; sıfıra eşit olduğunda tek bir katlı reel kök bulunur; negatif olduğunda ise kökler birbirinin eşleniği olan karmaşık sayılardır. Kökler bulunduktan sonra, orijinal ikinci derece denklem her zaman tam olarak \(a(x - r_1)(x - r_2)\) biçiminde çarpanlarına ayrılır.
Örnek Çözüm
\(x^2 - 5x + 6\) denklemini ele alalım (\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)). Diskriminant $$(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ olur. Kökler \(\frac{5 \pm 1}{2}\) olduğundan \(r_1 = 3\) ve \(r_2 = 2\) bulunur. Dolayısıyla çarpanlı biçim \(1(x - 3)(x - 2)\), kısacası \((x - 3)(x - 2)\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Kökler tam sayı değilse ne olur? Hesaplayıcı yine çalışır; ondalıklı kökleri döndürür ve çarpanlı biçimi bu ondalık değerlerle yazar.
Karmaşık köklerde durum nedir? Diskriminant negatif olduğunda sonuç, reel ve sanal kısımlardan oluşan bir eşlenik çift olarak (\(a \pm bi\) biçiminde) gösterilir.
Baş katsayı a neden en başta tutulur? \(a\)'yı çarpan olarak en başa almak, çarpanlı biçimin açıldığında tam olarak orijinal denkleminize geri dönmesini garanti eder; bu, \(a \neq 1\) olduğunda ortaya çıkan ölçek farkını da kapsar.
