À quoi sert ce calculateur
Cet outil réécrit n'importe quel trinôme du second degré sous sa forme développée, \(ax^2 + bx + c\), en sa forme factorisée complète \(a(x - r_1)(x - r_2)\). Il commence par déterminer les racines \(r_1\) et \(r_2\) à l'aide de la formule du discriminant, puis exprime le trinôme comme un produit de facteurs du premier degré multiplié par le coefficient dominant \(a\). La méthode fonctionne pour tous les coefficients réels, y compris lorsque les racines sont irrationnelles, fractionnaires ou complexes.
Mode d'emploi
Saisissez les trois coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de votre trinôme \(ax^2 + bx + c\). Le coefficient \(a\) ne doit pas être nul (sinon l'expression est affine, et non du second degré). Cliquez sur « Calculer » pour afficher la forme factorisée, le discriminant et chacune des racines.
La formule expliquée
Les racines proviennent de la formule $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ La quantité située sous la racine carrée, \(b^2 - 4ac\), est le discriminant (souvent noté \(\Delta\)). Lorsqu'il est positif, on obtient deux racines réelles distinctes ; lorsqu'il est nul, on a une racine réelle double ; lorsqu'il est négatif, les racines forment un couple de complexes conjugués. Une fois les racines connues, le trinôme se factorise toujours exactement sous la forme \(a(x - r_1)(x - r_2)\).
Exemple détaillé
Prenons \(x^2 - 5x + 6\) (\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)). Le discriminant vaut $$(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$ Les racines sont \(\frac{5 \pm 1}{2}\), soit \(r_1 = 3\) et \(r_2 = 2\). La forme factorisée est donc \(1(x - 3)(x - 2)\), c'est-à-dire simplement \((x - 3)(x - 2)\).
Questions fréquentes
Et si les racines ne sont pas des nombres entiers ? Le calculateur fonctionne quand même : il renvoie des racines décimales, et la forme factorisée utilise ces valeurs décimales.
Que se passe-t-il avec des racines complexes ? Lorsque le discriminant est négatif, le résultat est présenté à l'aide des parties réelle et imaginaire sous forme de couple conjugué, \(a \pm bi\).
Pourquoi le coefficient dominant a reste-t-il en facteur ? Mettre \(a\) en facteur garantit que la forme factorisée se redéveloppe exactement en votre trinôme d'origine, y compris l'étirement provoqué par un \(a \neq 1\).
