Qu'est-ce que le domaine de définition d'une fonction rationnelle ?
Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes : \(f(x) = P(x) / Q(x)\). Comme la division par zéro n'a pas de sens, le domaine de définition d'une fonction rationnelle regroupe tous les nombres réels, à l'exception de ceux qui annulent le dénominateur \(Q(x)\). Ce calculateur repère ces valeurs interdites pour vous, afin d'exprimer le domaine rapidement et sans erreur.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez d'abord si votre dénominateur est linéaire \((ax + b)\) ou quadratique \((ax^{2} + bx + c)\), puis saisissez les coefficients. Le calculateur résout l'équation « dénominateur égal à zéro » et affiche les valeurs de \(x\) à retirer du domaine. Le domaine correspond alors à l'ensemble des réels privé de ces valeurs.
La formule expliquée
Pour un dénominateur linéaire, on pose \(ax + b = 0\), ce qui donne :
$$\text{Domaine : } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; a\,x + b \neq 0 \,\right\} \;\Rightarrow\; x \neq -\frac{b}{a}$$Pour un dénominateur quadratique, on applique la formule des racines :
$$\begin{gathered} \text{Domaine : } \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; a\,x^{2} + b\,x + c \neq 0 \,\right\} \\[1.5em] \Rightarrow\; x \neq \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4\,a\,c}}{2\,a} \end{gathered}$$Le discriminant \(b^{2} - 4ac\) indique le nombre de racines réelles : deux s'il est positif, une seule (racine double) s'il est nul, et aucune s'il est négatif. Lorsqu'il n'existe aucune racine réelle, le dénominateur ne s'annule jamais et le domaine est l'ensemble des nombres réels.
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = 1 / (x^{2} - 5x + 6)\). Ici, \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Le discriminant vaut :
$$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$Les racines sont \((5 \pm 1) / 2\), soit \(3\) et \(2\). Le domaine est donc l'ensemble des réels sauf \(x = 2\) et \(x = 3\), ce que l'on note \(x \neq 2\) et \(x \neq 3\).
FAQ
Et si le dénominateur ne s'annule jamais ? Dans ce cas, la fonction est définie partout et son domaine couvre tous les nombres réels : \((-\infty, \infty)\).
Les zéros du numérateur modifient-ils le domaine ? Non. Les zéros du numérateur donnent les points d'intersection avec l'axe des abscisses, mais n'imposent aucune restriction sur le domaine. Seul le dénominateur restreint le domaine.
Qu'en est-il des discontinuités éliminables (les « trous ») ? Un facteur qui se simplifie restreint quand même le domaine en ce point : le graphe présente alors un trou plutôt qu'une asymptote, mais la valeur reste exclue. Cet outil s'appuie sur le dénominateur tel que vous l'avez saisi.
