Что такое область определения рациональной функции?
Рациональная (дробно-рациональная) функция — это отношение двух многочленов: \(f(x) = P(x) / Q(x)\). Поскольку деление на ноль не имеет смысла, областью определения такой функции являются все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель \(Q(x)\) обращается в ноль. Этот калькулятор сам находит эти «запретные» значения, чтобы вы могли быстро и без ошибок записать область определения.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите, какой у вас знаменатель — линейный (\(ax + b\)) или квадратный (\(ax^{2} + bx + c\)) — а затем введите коэффициенты. Калькулятор приравняет знаменатель к нулю, решит уравнение и выведет значения \(x\), которые нужно исключить из области определения. Сама область определения — это все действительные числа, кроме найденных значений.
Разбираем формулу
Для линейного знаменателя приравниваем \(ax + b = 0\) и получаем $$x = -\frac{b}{a}.$$ Для квадратного знаменателя применяем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$ Дискриминант \(b^{2} - 4ac\) показывает, сколько действительных корней у уравнения: два — если он положителен, один (кратный) — если равен нулю, и ни одного — если он отрицателен. Когда действительных корней нет, знаменатель никогда не обращается в ноль, и областью определения служат все действительные числа.
Пример с решением
Возьмём \(f(x) = 1 / (x^{2} - 5x + 6)\). Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Дискриминант равен $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.$$ Корни: $$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ и } 2.$$ Значит, область определения — все действительные числа, кроме \(x = 2\) и \(x = 3\), то есть \(x \neq 2\) и \(x \neq 3\).
Частые вопросы
А если знаменатель никогда не равен нулю? Тогда функция определена всюду, и область определения — все действительные числа \((-\infty, \infty)\).
Влияют ли нули числителя на область определения? Нет. Нули числителя дают точки пересечения графика с осью \(x\), но не ограничивают область определения. Ограничения накладывает только знаменатель.
А как быть с устранимыми разрывами («выколотыми точками»)? Множитель, который сокращается, всё равно ограничивает область определения в этой точке, даже если на графике там не асимптота, а «дырка». Этот инструмент работает со знаменателем в том виде, в котором вы его ввели.
