이차식 완전 인수분해 형태 계산기

계산 입력

계수 a

계수 b

계수 c

이차식 ax² + bx + c에 사용됩니다. 계수 a는 0이 될 수 없습니다.

결과

인수분해 형태

1(x − 3)(x − 2)

실근

판별식 (b² − 4ac)	1
근 r₁	3
근 r₂	2
최고차항 계수 a	1

이 계산기의 기능

이 도구는 표준형 \(ax^2 + bx + c\)로 주어진 모든 이차식을 완전 인수분해 형태인 \(a(x - r_1)(x - r_2)\)로 바꿔 줍니다. 먼저 근의 공식을 이용해 두 근 \(r_1\)과 \(r_2\)를 구한 다음, 최고차항 계수 \(a\)를 앞에 두고 일차식의 곱으로 이차식을 다시 표현합니다. 근이 무리수, 분수, 복소수인 경우를 포함해 어떤 실수 계수에도 적용됩니다.

사용 방법

이차식 \(ax^2 + bx + c\)의 세 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 계수 \(a\)는 0이 되어서는 안 됩니다(0이면 이차식이 아니라 일차식이 됩니다). 계산 버튼을 누르면 인수분해 형태와 함께 판별식, 각 근을 확인할 수 있습니다.

공식 풀이

근은 근의 공식 $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$로 구합니다. 제곱근 안의 값인 \(b^2 - 4ac\)는 판별식입니다. 판별식이 양수이면 서로 다른 두 실근이 존재하고, 0이면 중근(하나의 실근)이 되며, 음수이면 근이 켤레 복소수 쌍이 됩니다. 근을 구하고 나면 원래 이차식은 항상 \(a(x - r_1)(x - r_2)\) 형태로 정확히 인수분해됩니다.

근 \(r_1\)과 \(r_2\)는 포물선의 x절편이고, \(a\)는 수직 확대와 방향을 결정합니다.

예제 풀이

\(x^2 - 5x + 6\) (\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\))을 살펴봅시다. 판별식은 $$(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$입니다. 근은 \(\frac{5 \pm 1}{2}\)이므로 \(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\)가 됩니다. 따라서 인수분해 형태는 \(1(x - 3)(x - 2)\), 간단히 \((x - 3)(x - 2)\)입니다.

판별식 \(b^2 - 4ac\)은 두 실근, 중근, 또는 허근 중 무엇인지 결정합니다.

자주 묻는 질문

근이 정수가 아니면 어떻게 되나요? 계산기는 그대로 작동합니다. 소수 형태의 근을 반환하며, 인수분해 형태에도 그 소수 값이 그대로 사용됩니다.

근이 복소수일 때는 어떻게 되나요? 판별식이 음수일 때는 결과가 실수부와 허수부로 이루어진 켤레 복소수 쌍 \(a \pm bi\) 형태로 표시됩니다.

최고차항 계수 \(a\)를 왜 앞에 두나요? \(a\)를 앞으로 묶어 두면 \(a \neq 1\)로 인한 확대까지 포함해 인수분해 형태를 전개했을 때 원래 이차식과 정확히 일치하기 때문입니다.