这个计算器能做什么
本工具可将任意标准形式的二次式 \(ax^2 + bx + c\) 改写为它的完全因式分解形式 \(a(x - r_1)(x - r_2)\)。它先用求根公式求出两个根 \(r_1\) 和 \(r_2\)，再把二次式写成两个一次因式的乘积，并在前面乘上首项系数 \(a\)。无论系数取什么实数都适用，包括根为无理数、分数甚至复数的情况。
使用方法
输入二次式 \(ax^2 + bx + c\) 中的三个系数 \(a\)、\(b\)、\(c\)。其中系数 \(a\) 不能为零（否则表达式就成了一次式，而非二次式）。点击「计算」即可看到因式分解结果，以及判别式和两个根的具体数值。
公式详解
两个根由求根公式 $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 求得。根号下的部分 \(b^2 - 4ac\) 称为判别式。当它大于零时，有两个不相等的实根；等于零时，有一个重根（两根相等）；小于零时，两根为一对共轭复数。求出两根后，原二次式必然可以精确分解为 $$a(x - r_1)(x - r_2)$$
实例演示
以 \(x^2 - 5x + 6\) 为例（\(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)）。判别式为 $$(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ 两根为 \(\frac{5 \pm 1}{2}\)，即 \(r_1 = 3\)、\(r_2 = 2\)。因此因式分解形式为 \(1(x - 3)(x - 2)\)，也就是 \((x - 3)(x - 2)\)。
常见问题
如果根不是整数怎么办？计算器照样能处理——它会给出小数形式的根，因式分解结果也会使用这些小数。
遇到复根会怎样？当判别式小于零时，结果会以实部和虚部组成的共轭复数对来表示，即 \(a \pm bi\)。
为什么要把首项系数 a 单独放在前面？把 \(a\) 提取出来，能保证因式分解形式展开后正好还原成你输入的原二次式，包括 \(a \neq 1\) 时带来的整体伸缩。
