Qué hace esta calculadora
Esta herramienta reescribe cualquier expresión cuadrática en forma estándar, \(ax^2 + bx + c\), en su forma factorizada completa, \(a(x - r_1)(x - r_2)\). Primero halla las raíces \(r_1\) y \(r_2\) mediante la fórmula general (o fórmula resolvente) y, a continuación, expresa la cuadrática como un producto de factores lineales multiplicado por el coeficiente principal \(a\). Funciona con cualquier coeficiente real, incluso cuando las raíces son irracionales, fraccionarias o complejas.
Cómo usarla
Introduce los tres coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) de tu cuadrática \(ax^2 + bx + c\). El coeficiente \(a\) no puede ser cero (de lo contrario la expresión sería lineal, no cuadrática). Pulsa calcular para ver la forma factorizada junto con el discriminante y cada una de las raíces.
La fórmula explicada
Las raíces se obtienen con la fórmula general $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$ La cantidad que aparece bajo la raíz cuadrada, \(b^2 - 4ac\), es el discriminante. Cuando es positivo, hay dos raíces reales distintas; cuando vale cero, hay una única raíz real (doble); y cuando es negativo, las raíces forman un par conjugado complejo. Una vez conocidas las raíces, la cuadrática original se factoriza siempre de forma exacta como $$a(x - r_1)(x - r_2).$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x^2 - 5x + 6\) (\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)). El discriminante es $$(-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1.$$ Las raíces son \(\frac{5 \pm 1}{2}\), lo que da \(r_1 = 3\) y \(r_2 = 2\). Por lo tanto, la forma factorizada es \(1(x - 3)(x - 2)\), o simplemente \((x - 3)(x - 2)\).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si las raíces no son números enteros? La calculadora funciona igualmente: devuelve las raíces en formato decimal y la forma factorizada utiliza esos valores decimales.
¿Qué ocurre con las raíces complejas? Cuando el discriminante es negativo, el resultado se muestra mediante sus partes real e imaginaria como un par conjugado, \(a \pm bi\).
¿Por qué el coeficiente principal a queda delante? Sacar \(a\) como factor garantiza que la forma factorizada vuelva a expandirse exactamente a tu cuadrática original, incluyendo cualquier dilatación cuando \(a \neq 1\).
