Qu'est-ce que la calculatrice de forme polaire ?
Cet outil convertit un nombre complexe écrit sous forme rectangulaire (cartésienne), \(a + bi\), en sa forme polaire. La forme polaire exprime le même nombre à partir de sa distance à l'origine (le module \(r\)) et de l'angle qu'il forme avec l'axe réel positif (l'argument \(\theta\)). On l'écrit \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\), ou de façon abrégée \(r\angle\theta\).
Comment l'utiliser
Saisissez la partie réelle a et la partie imaginaire b de votre nombre complexe, puis lisez directement le module et l'angle. L'angle est affiché à la fois en radians et en degrés, afin que vous puissiez utiliser l'unité adaptée à votre problème.
La formule expliquée
Le module découle directement du théorème de Pythagore : \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), soit l'hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés mesurent \(a\) et \(b\). L'angle s'obtient grâce à l'arc tangente à deux arguments, \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), qui renvoie l'angle correct sur l'intervalle complet \((-\pi, \pi]\) en tenant compte des signes de \(a\) et de \(b\). On évite ainsi l'ambiguïté de quadrant inhérente au simple \(\arctan(b/a)\).
$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Re}^{2} + \text{Im}^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Im},\, \text{Re}\right) \end{aligned}$$
Exemple détaillé
Prenons le nombre complexe \(3 + 4i\). Le module vaut $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$ L'angle vaut $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radian} \approx 53{,}13°.$$ On a donc $$3 + 4i = 5(\cos 53{,}13° + i\cdot\sin 53{,}13°).$$
FAQ
Pourquoi utiliser atan2 plutôt qu'arctan ? Le simple arctan perd l'information de signe et ne peut pas déterminer dans quel quadrant se situe le point. La fonction \(\operatorname{atan2}(b, a)\) utilise les deux valeurs et renvoie l'angle réel.
Dans quel intervalle se trouve l'angle ? L'angle en radians appartient à \((-\pi, \pi]\), soit \((-180°, 180°]\). Ajoutez 360° (ou \(2\pi\)) pour l'exprimer sous forme d'angle positif si vous le préférez.
Que se passe-t-il si a et b sont tous deux nuls ? Le module vaut 0 et l'angle est indéfini (par convention, on renvoie 0).
