Что делает этот калькулятор
Выделение полного квадрата — один из базовых приёмов алгебры: он нужен для решения квадратных уравнений, построения графиков парабол и вывода формулы дискриминанта. Чтобы дополнить выражение вида x² + bx до полного квадрата, к нему прибавляют определённую константу — \((b/2)^2\). Калькулятор берёт ваш коэффициент b и мгновенно выдаёт это число, а заодно показывает \(b/2\) и готовую форму полного квадрата.
Как пользоваться
Определите коэффициент при линейном члене (при x) в выражении, уже записанном как x² + bx. Введите это значение как b — оно может быть положительным, отрицательным или дробным. Калькулятор вернёт число \((b/2)^2\), которое нужно прибавить, и покажет разложение в виде \((x + b/2)^2\).
Разбор формулы
Полный квадрат трёхчлена выглядит так: \((x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\). Сравнивая \(x^2 + bx\) с \(x^2 + 2kx\), видим, что \(2k = b\), а значит \(k = b/2\). Недостающая константа равна \(k^2 = (b/2)^2\). Прибавив её, мы превращаем выражение в точный квадрат:
$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$
Разбор примера
Допустим, у вас есть \(x^2 + 6x\). Здесь \(b = 6\), поэтому \(b/2 = 3\), а \((b/2)^2 = 9\). Прибавив 9, получаем $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2.$$ Если же исходное уравнение было \(x^2 + 6x = 5\), нужно прибавить 9 к обеим частям: \((x + 3)^2 = 14\), и тогда \(x = -3 \pm \sqrt{14}\).
Частые вопросы
А если при x² стоит коэффициент, не равный 1? Сначала вынесите его за скобки или поделите так, чтобы старший коэффициент стал равен 1 (например, \(2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x)\)), а затем дополняйте до полного квадрата выражение в скобках — \(x^2 + 4x\).
Работает ли это с отрицательным b? Да. При возведении в квадрат знак исчезает, поэтому \((b/2)^2\) всегда неотрицательно. Для \(x^2 - 8x\) имеем \(b = -8\), \(b/2 = -4\), и прибавить нужно 16.
А как быть с дробями? Дроби и десятичные числа подходят без проблем: для \(x^2 + 3x\) прибавляем \((1{,}5)^2 = 2{,}25\).
