Калькулятор корня из отрицательного числа

Введите расчет

Введите отрицательное число (или любое другое)

Результатов

Square Root of -25

5i

чисто мнимое число

Введённое число (n)	-25
Модуль |n|	25
√|n|	5
Мнимое?	Yes

Что делает калькулятор

Этот калькулятор упрощает квадратный корень из отрицательного числа до вида \(i\cdot\sqrt{n}\), где \(i\) — мнимая единица (\(i^2 = -1\)). Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, корень из отрицательного числа является чисто мнимым числом.

Как пользоваться

Введите любое число. Если оно отрицательное, калькулятор вынесет за корень −1 и выдаст мнимый коэффициент. Если число равно нулю или положительно, вы получите обычный действительный квадратный корень.

Формула

Для любого \(n > 0\) справедливо: $$\sqrt{-n} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{n} = i\cdot\sqrt{n}$$ Отображаемый коэффициент — это \(\sqrt{n}\), то есть корень из модуля введённого вами числа.

Квадратный корень из отрицательного числа разлагается на i (корень из −1), умноженное на квадратный корень из положительной части.

Разбор примера

Возьмём \(\sqrt{-25}\). Модуль равен 25, а \(\sqrt{25} = 5\). Значит, $$\sqrt{-25} = 5i$$ Ещё пример: для \(\sqrt{-18}\) имеем \(\sqrt{18} \approx 4{,}242640\), поэтому ответ — примерно \(4{,}242640\,i\).

Упрощённый результат вида i·√n — это чисто мнимое число, лежащее на вертикальной оси комплексной плоскости.

Частые вопросы

Почему для корня из отрицательного числа нужна i? Потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен, и на числовой прямой невозможно представить \(\sqrt{-1}\). Чтобы расширить множество чисел, математики ввели мнимую единицу \(i = \sqrt{-1}\).

А если ввести положительное число? Тогда результатом будет обычный действительный квадратный корень без мнимой части.

Единственный ли это ответ? Как и у любого квадратного корня, значений два (\(\pm 5i\) для −25); калькулятор показывает главное значение — \(5i\).