配方法常數計算器

輸入計算

係數 b（x² + bx 中的一次項係數）

結果

配方所需的常數 (b/2)²

9

將此常數補到 x² + bx

係數 b	6
b / 2	3
應補上的 (b/2)²	9
完全平方形式	(x + 3)²

這個計算器的功能

配方法（completing the square）是代數中的核心技巧，常用來解一元二次方程式、繪製拋物線，以及推導一元二次方程式的公式解。對於形如 x² + bx 的式子，只要補上一個特定的常數 \((b/2)^2\)，就能把它配成完全平方。這個計算器會接收你輸入的係數 b，立刻算出該常數，同時顯示 \(b/2\) 與配方後的完全平方形式。

使用方法

先把式子整理成 \(x^2 + bx\) 的形式，找出一次項（x 項）的係數。將該數值填入 b，可以是正數、負數或小數。計算器會回傳你應該補上的數字 \((b/2)^2\)，並顯示因式分解後的形式 \((x + b/2)^2\)。

公式說明

完全平方三項式的形式為 \((x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\)。把 \(x^2 + bx\) 與 \(x^2 + 2kx\) 對照，可知 \(2k = b\)，因此 \(k = b/2\)。所以缺少的那個常數就是 \(k^2 = (b/2)^2\)。補上之後，式子就成為精確的平方：$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

幾何視角：缺少的角落正方形面積為 \((b/2)^2\)，正是配方所需補上的數。

範例演算

假設你有 \(x^2 + 6x\)。此時 \(b = 6\)，所以 \(b/2 = 3\)，\((b/2)^2 = 9\)。補上 9 後得到 $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ 如果你一開始的方程式是 \(x^2 + 6x = 5\)，就要在兩邊各加 9：\((x + 3)^2 = 14\)，再解出 \(x = -3 \pm \sqrt{14}\)。

步驟：把 b 減半，再平方，即得要加上的常數。

常見問題

如果 x² 項的係數不是 1 怎麼辦？ 先提出公因式或同除，讓最高次項係數變成 1（例如 \(2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x)\)），再針對括號內的 \(x^2 + 4x\) 進行配方。

b 是負數也適用嗎？ 適用。平方會把負號消去，所以 \((b/2)^2\) 永遠是非負數。以 \(x^2 - 8x\) 為例，\(b = -8\)，\(b/2 = -4\)，要補上的常數是 16。

遇到分數或小數呢？ 小數與分數一樣可以計算；例如 \(x^2 + 3x\) 要補上 \((1.5)^2 = 2.25\)。