이 계산기의 기능
완전제곱식 만들기는 이차방정식을 풀고, 포물선 그래프를 그리고, 근의 공식을 유도할 때 쓰이는 대수학의 핵심 기법입니다. x² + bx 형태의 식은 특정한 상수, 즉 (b/2)²을 더해서 완전제곱식으로 만들 수 있습니다. 이 계산기는 일차항의 계수 b를 입력하면 더해야 할 상수와 함께 b/2 값, 그리고 완성된 완전제곱식 형태까지 즉시 보여 줍니다.
사용 방법
x² + bx 형태로 정리된 식에서 일차항(x)의 계수를 찾으세요. 그 값을 b에 입력하면 됩니다. 양수, 음수, 소수 모두 가능합니다. 계산기는 더해야 할 상수 \((b/2)^2\)을 알려 주고, 인수분해된 형태 \((x + b/2)^2\)까지 함께 보여 줍니다.
공식 설명
완전제곱식 형태의 삼항식은 \((x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\) 꼴입니다. \(x^2 + bx\) 를 \(x^2 + 2kx\) 와 비교하면 \(2k = b\), 즉 \(k = b/2\) 임을 알 수 있습니다. 따라서 빠져 있는 상수는 \(k^2 = (b/2)^2\) 이 됩니다. 이 값을 더하면 식이 정확히 제곱 형태가 됩니다:
$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$
풀이 예시
\(x^2 + 6x\) 라는 식이 있다고 합시다. 여기서 \(b = 6\) 이므로 \(b/2 = 3\), \((b/2)^2 = 9\) 입니다. 9를 더하면 $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ 가 됩니다. 만약 처음 식이 \(x^2 + 6x = 5\) 라는 방정식이었다면 양변에 9를 더해 \((x + 3)^2 = 14\) 가 되고, 이를 풀면 \(x = -3 \pm \sqrt{14}\) 가 나옵니다.
자주 묻는 질문
x²의 계수가 1이 아니면 어떻게 하나요? 먼저 최고차항의 계수가 1이 되도록 묶어내거나 나눠 줍니다(예: \(2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x)\)). 그런 다음 괄호 안의 \(x^2 + 4x\) 에 대해 완전제곱식을 만들면 됩니다.
b가 음수여도 되나요? 네. 제곱하면 부호가 사라지므로 \((b/2)^2\)은 항상 0 이상입니다. \(x^2 - 8x\) 의 경우 \(b = -8\), \(b/2 = -4\) 이고, 16을 더하면 됩니다.
분수나 소수는요? 소수와 분수 모두 문제없이 계산됩니다. 예를 들어 \(x^2 + 3x\) 라면 \((1.5)^2 = 2.25\) 를 더합니다.
