복소수 제곱근 계산기란?
이 계산기는 a + bi 형태로 표현되는 복소수의 제곱근을 구해 줍니다. 여기서 a는 실수부, b는 허수부를 뜻합니다. 0이 아닌 모든 복소수는 서로 부호만 반대인 두 개의 제곱근을 가지는데, 이 도구는 그중 주제곱근(principal root)을 보여 주고 나머지 한 근은 단지 그 값에 음의 부호를 붙인 것임을 함께 알려 줍니다.
사용 방법
복소수의 실수부(a)와 허수부(b)를 입력하면 결과를 바로 확인할 수 있습니다. 예를 들어 -4처럼 순수한 음의 실수라면 a = -4, b = 0으로 설정하면 됩니다. 또한 이 계산기는 입력한 복소수의 절댓값과 계산된 근의 절댓값도 함께 제공합니다.
공식 풀이
z = a + bi이고 절댓값이 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)일 때, 주제곱근은 다음과 같이 구합니다.
$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i\cdot\operatorname{sgn}(b)\cdot\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}$$허수부의 부호는 b의 부호에 따라 결정됩니다. b = 0이고 a ≥ 0이면 근은 순수한 실수가 되고, b = 0이고 a < 0이면 근은 순수한 허수가 됩니다. 또한 근의 절댓값은 \(\sqrt{|z|}\)와 같습니다.
예제로 살펴보기
z = 3 + 4i를 예로 들어 보겠습니다. 이때 \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\)입니다. 근의 실수부는 \(\sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \sqrt{4} = 2\)가 됩니다. b > 0이므로 허수부는 \(+\sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \sqrt{1} = 1\)이 됩니다. 따라서 $$\sqrt{3 + 4i} = 2 + i$$이며, 나머지 한 근은 −2 − i입니다.
자주 묻는 질문(FAQ)
왜 제곱근이 두 개인가요? 제곱을 하면 부호가 상쇄되기 때문에, w² = z이면 (−w)² = z도 성립합니다. 두 근은 항상 부호만 다릅니다.
주제곱근(principal root)이란 무엇인가요? 관례상 실수부가 음이 아닌 근을 말합니다(실수부가 0인 경우에는 허수부가 음이 아닌 근을 가리킵니다).
음의 실수에 대한 제곱근도 구할 수 있나요? 네, 가능합니다. b = 0으로 두고 a에 음수를 입력하면 됩니다. 예를 들어 \(\sqrt{-4} = 2i\)입니다.
