四角錐数とは
四角錐数とは、ボール（または単位球や立方体）を底面が正方形のピラミッド状に積み上げたときの総数を表す数です。最上段は 1 個、その下の段は 2×2＝4 個、3 段目は 3×3＝9 個…と続き、n 段ある最下段は n×n 個になります。すべての段を足し合わせた合計が四角錐数 P(n) です。数列は 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … と続き、OEIS では A000330 として登録されています。
計算機の使い方
積み上げる段数 \(n\)（0 以上の整数）を入力すると、積み上げ全体のボールの総数 \(P(n)\) が返されます。砲弾の積み上げパズル、オレンジや果物の陳列、学校での整数論の演習など、「最初の n 個の平方数の和」をすばやく求めたいときに役立ちます。
公式の解説
定義上、\(P(n)\) は最初の n 個の平方数の和です： \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\)。この和は次のように美しい閉じた形（公式）で表せます。
$$P(n) = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
積 \(n(n + 1)(2n + 1)\) は必ず 6 で割り切れるため、どんな整数 n に対しても結果は正確な整数になります。\(P(0) = 0\) は空の積み上げを表し、段数が負の場合は物理的に意味を持たないため、ここでは 0 として扱います。
計算例
4 段に積み上げる場合を考えてみましょう。平方数の和で求めると \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\)。公式を使うと $$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30$$ 個になります。より大きな例として n = 10 のときは $$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$ 個です。
よくある質問
n = 0 のときはどうなりますか？ \(P(0) = 0\)、つまりボールが 1 個もない空のピラミッドになります。
n は小数でもよいですか？ 公式自体は計算できますが、四角錐数は 0 以上の整数の段数のときにのみ物理的な意味を持ちます。
どれくらい速く増えますか？ n が大きいとき、値はおおよそ \(n^3 \div 3\) に近い速さで増加します。そのため、非常に高く積み上げると膨大な数のボールになります。
