ما هو العدد الهرمي المربع؟
العدد الهرمي المربع هو العدد الإجمالي للكرات (أو الكرات الوحدوية أو المكعبات) التي تحصل عليها عند تكديسها على هيئة هرم ذي قاعدة مربعة. تتكوّن الطبقة العليا من كرة واحدة، والطبقة التالية من مربّع مكوّن من \(2\times 2 = 4\) كرات، والثالثة من \(3\times 3 = 9\) كرات، وحتى الطبقة السفلية في هرم من \(n\) طبقة فتضم \(n\times n\) كرة. وبجمع كل الطبقات نحصل على العدد الهرمي المربع \(P(n)\). وتبدأ المتتالية بالقيم 0، 1، 5، 14، 30، 55، 91، 140، ... وهي مُدرجة في موسوعة المتتاليات OEIS تحت الرمز A000330.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد الطبقات المكدّسة \(n\) (وهو عدد صحيح غير سالب)، فتُرجع لك الحاسبة قيمة \(P(n)\) أي إجمالي عدد الكرات في الكومة الكاملة. استعملها في ألغاز تكديس قذائف المدفعية، أو في عرض البرتقال والفواكه على شكل أهرام، أو في تمارين نظرية الأعداد داخل الصف الدراسي، أو في أي موقف تحتاج فيه إلى حساب مجموع أول \(n\) من المربّعات الكاملة بسرعة.
شرح الصيغة
بحسب التعريف، فإن \(P(n)\) هو مجموع أول \(n\) من الأعداد المربّعة: \(P(n) = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\). ولهذا المجموع صيغة مغلقة أنيقة:
$$P = \frac{n\left(n+1\right)\left(2\,n+1\right)}{6}$$الحاصل \(n(n + 1)(2n + 1)\) قابل دائمًا للقسمة على 6، لذا فإن النتيجة عدد صحيح تام لأي عدد صحيح \(n\). وتمثّل القيمة \(P(0) = 0\) كومة فارغة، أما أعداد الطبقات السالبة فلا معنى فيزيائي لها (وتُعامَل هنا على أنها 0).
مثال محلول
لنفترض أنك كدّست 4 طبقات. بجمع المربّعات:
$$1 + 4 + 9 + 16 = 30$$وباستخدام الصيغة المغلقة:
$$\frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 30 \text{ كرة}$$وللتحقق بمثال أكبر: عند \(n = 10\) تكون النتيجة
$$\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385 \text{ كرة}$$الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عند \(n = 0\)؟ تكون \(P(0) = 0\)، أي هرم فارغ خالٍ من الكرات.
هل يمكن أن يكون \(n\) كسرًا؟ الصيغة المغلقة تُحسب رياضيًا حتى في هذه الحالة، لكن العدد الهرمي المربع لا يكون ذا معنى فيزيائي إلا مع أعداد طبقات صحيحة وغير سالبة.
ما مدى سرعة نموّه؟ عند القيم الكبيرة لـ \(n\) تنمو القيمة بمعدّل يقارب \(n^3\) مقسومًا على 3، لذا تحتوي الأهرام شديدة الارتفاع على أعداد هائلة من الكرات.
