¿Qué es la calculadora de tablas de funciones de Airy?
Esta herramienta evalúa las dos funciones de Airy, \(\text{Ai}(x)\) y \(\text{Bi}(x)\), y opcionalmente sus derivadas \(\text{Ai}'(x)\) y \(\text{Bi}'(x)\), a lo largo de un rango de valores reales de \(x\). Las funciones de Airy son las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Airy \(y'' - x\cdot y = 0\). Aparecen por toda la física: en mecánica cuántica describen la función de onda cerca de un punto de retorno clásico, y también surgen en óptica, en el análisis asintótico y en la teoría del arcoíris.
Cómo usarla
Introduce un valor inicial de \(x\), un valor final de \(x\) y un tamaño de paso. La calculadora genera una fila por cada valor de \(x\) desde el inicio hasta el final, ambos incluidos. Marca la casilla de derivadas para listar también \(\text{Ai}'(x)\) y \(\text{Bi}'(x)\). La gráfica representa \(\text{Ai}(x)\) y \(\text{Bi}(x)\) frente a \(x\), de modo que puedes ver cómo \(\text{Ai}\) decae para \(x\) positivo y cómo ambas funciones oscilan para \(x\) negativo.
La fórmula
Empleando el desarrollo en serie en torno al origen con \(\alpha = \text{Ai}(0) = 0{,}3550280539\) y \(\beta = -\text{Ai}'(0) = 0{,}2588194038\):
$$\text{Ai}(x) = \alpha\, f(x) - \beta\, g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\big(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\big)$$ donde \(f(x) = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \dots\) y \(g(x) = x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \dots\) Para \(|x|\) mayor que aproximadamente \(8\), la calculadora pasa a las formas asintóticas con \(\zeta = \frac{2}{3}\cdot|x|^{3/2}\) para evitar errores de cancelación.
Ejemplo resuelto
En \(x = 0\): \(f(0) = 1\), \(g(0) = 0\), así que \(\text{Ai}(0) = \alpha = 0{,}3550281\) y \(\text{Bi}(0) = \sqrt{3}\cdot\alpha = 0{,}6149266\). En \(x = 1\): \(f(1) \approx 1{,}1722535\) y \(g(1) \approx 1{,}0853407\), lo que da \(\text{Ai}(1) \approx 0{,}1352924\) y \(\text{Bi}(1) \approx 1{,}2074236\), en concordancia con los valores tabulados.
Definiciones y Glosario
- Función de Airy de la primera especie, \(\text{Ai}(x)\)
- La solución de la ecuación de Airy que decae a cero cuando \(x \to +\infty\). Para \(x\) grande y positivo disminuye como \(\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\); para \(x\) negativo oscila con longitud de onda que crece lentamente.
- Función de Airy de la segunda especie, \(\text{Bi}(x)\)
- La segunda solución, linealmente independiente. Crece como \(\dfrac{e^{\zeta}}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\) cuando \(x \to +\infty\) y, al igual que Ai, oscila para \(x<0\).
- Ecuación diferencial de Airy, \(y'' - xy = 0\)
- La más simple ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con un punto de giro en el origen. Su solución general es \(y(x) = c_1\,\text{Ai}(x) + c_2\,\text{Bi}(x)\). Surge en óptica, mecánica cuántica (una partícula en un potencial lineal) y en el análisis WKB de problemas de ondas.
- \(\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}\)
- La variable natural de fase/amortiguamiento para las funciones de Airy. Gobierna el crecimiento y decaimiento exponencial para \(x>0\) y la fase de oscilación para \(x<0\), apareciendo en todos los desarrollos asintóticos.
- Punto de giro
- Un valor de \(x\) donde el comportamiento de la ecuación cambia de carácter. Para \(y'' - xy = 0\) el punto de giro está en \(x=0\): las soluciones son oscilatorias para \(x<0\) (donde el coeficiente \(-x\) es positivo) y exponenciales (crecientes o decrecientes) para \(x>0\).
- Desarrollo asintótico
- Una serie en potencias inversas de \(\zeta\) (o \(x^{3/2}\)) que aproxima Ai y Bi con precisión para \(|x|\) grande. No necesita converger, pero unos pocos términos proporcionan excelente precisión lejos del origen, donde la serie de potencias de la pestaña de fórmulas convergen lentamente.
- Wronskiano
- El determinante \(W = \text{Ai}(x)\,\text{Bi}'(x) - \text{Ai}'(x)\,\text{Bi}(x)\). Un Wronskiano constante no nulo (aquí \(1/\pi\)) confirma que Ai y Bi son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base completa de soluciones.
Preguntas frecuentes
¿Por qué Bi(x) se dispara? Para valores grandes y positivos de \(x\), \(\text{Bi}(x)\) crece como \(\exp(\zeta)\) y desborda la precisión doble cuando \(x\) supera \(\sim 230\). Mantén el límite superior dentro de un rango moderado.
¿Por qué oscilan las funciones para x negativo? Cuando \(x\) tiende a menos infinito, ambas funciones oscilan con una amplitud que decae como \(|x|^{-1/4}\).
¿Qué unidades se usan? Ninguna: \(x\) es un número real puro y los valores de salida son adimensionales.
