¿Qué es la función de Struve?
La función de Struve Hv(x) es una función especial que surge como solución particular de la ecuación de Bessel no homogénea. Aparece en problemas de acústica, dinámica de fluidos, óptica y electromagnetismo, a menudo junto a las funciones de Bessel ordinarias. Esta calculadora tabula Hv(x) de cualquier orden real v a lo largo de una secuencia de valores de x que tú elijas, de modo que puedas observar su comportamiento oscilante y de lento decaimiento. Es matemática pura y se aplica de forma universal, sin depender de ninguna región ni unidad.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cuatro valores: el Orden v (el orden de la función de Struve), el Valor inicial de x (el primer argumento), el Incremento (el espaciado entre valores sucesivos de x) y el Número de repeticiones (cuántas filas generar). La tabla muestra entonces cada argumento \(x_{i} = \text{inicioX} + i \times \text{pasoX}\) y el valor correspondiente \(\mathbf{H}_{v}(x_{i})\). Con los valores predeterminados (\(v = 0\), inicio = -10, paso = 0.2, repeticiones = 101) obtienes 101 puntos que recorren x desde -10 hasta +10.
La fórmula explicada
El valor se evalúa directamente a partir de la serie de potencias mostrada arriba.
$$\mathbf{H}_{v}(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+v+\frac{3}{2}\right)}$$Si escribimos \(t = x/2\), el factor inicial es \(t^{v+1}\) y cada término es \((-1)^{k} t^{2k}\) dividido por el producto de dos funciones gamma, \(\Gamma(k + 3/2)\) y \(\Gamma(k + v + 3/2)\). La función gamma se calcula mediante una aproximación de Lanczos numéricamente estable, recurriendo a la fórmula de reflexión \(\Gamma(z) = \pi / (\sin(\pi z)\, \Gamma(1 - z))\) cuando su argumento es no positivo. La serie alternante converge con rapidez para valores moderados de \(|x|\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(v = 0\) y \(x = 2\), de modo que \(t = 1\) y el factor inicial es 1. Al sumar la serie se obtiene
$$1.273240 - 0.565884 + 0.090542 - 0.007391 + 0.000365 - \ldots \approx 0.79066.$$Por tanto \(\mathbf{H}_{0}(2) \approx 0.79066\), lo que coincide con el valor de referencia estándar.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(\mathbf{H}_{v}(0)\)? Para cualquier orden \(v > -1\), el factor inicial \((x/2)^{v+1}\) se anula en \(x = 0\), por lo que \(\mathbf{H}_{v}(0) = 0\).
¿Puedo usar órdenes negativos o no enteros? Sí. Para x negativo con v no entero la función se vuelve compleja, así que esas filas se muestran como «no es un número» (NaN); para \(v = 0\) u órdenes enteros, toda la tabla permanece real.
¿Qué precisión tiene? La serie directa es muy precisa para el rango predeterminado. Para \(|x|\) muy grandes (más allá de unos 30) se necesitan muchos términos y sería preferible una expansión asintótica.
