ما هي حاسبة جدول دالة آيري؟
تقوم هذه الأداة بحساب دالتي آيري، \(\text{Ai}(x)\) و\(\text{Bi}(x)\)، مع إمكانية إضافة مشتقتيهما \(\text{Ai}'(x)\) و\(\text{Bi}'(x)\)، عبر نطاق من القيم الحقيقية لـ \(x\). ودالتا آيري هما الحلّان المستقلان خطيًا لمعادلة آيري التفاضلية \(y'' - x\,y = 0\). وتظهر هاتان الدالتان في مختلف فروع الفيزياء: ففي ميكانيكا الكمّ تصفان الدالة الموجية بالقرب من نقطة التحول الكلاسيكية، كما تردان في علم البصريات والتحليل المقارب ونظرية قوس قزح.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة بداية لـ \(x\)، وقيمة نهاية لـ \(x\)، ومقدار الخطوة. تُنشئ الحاسبة صفًا واحدًا لكل قيمة من \(x\) ابتداءً من بداية \(x\) وحتى نهايتها شاملةً الطرفين. حدّد خانة المشتقات لعرض \(\text{Ai}'(x)\) و\(\text{Bi}'(x)\) أيضًا. ويرسم المخطط البياني \(\text{Ai}(x)\) و\(\text{Bi}(x)\) مقابل \(x\)، بحيث تلاحظ تناقص \(\text{Ai}\) عند قيم \(x\) الموجبة وتذبذب الدالتين معًا عند القيم السالبة.
المعادلة
باستخدام المتسلسلة حول نقطة الأصل مع \(\alpha = \text{Ai}(0) = 0.3550280539\) و\(\beta = -\text{Ai}'(0) = 0.2588194038\):
$$\text{Ai}(x) = \alpha\, f(x) - \beta\, g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\big(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\big)$$ حيث \(f(x) = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \cdots\) و\(g(x) = x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \cdots\) وعندما يتجاوز \(|x|\) نحو 8 تنتقل الحاسبة إلى الصيغ المقاربة مع \(\zeta = \frac{2}{3}|x|^{3/2}\) لتجنّب خطأ الإلغاء.
مثال محلول
عند \(x = 0\): تكون \(f(0)=1\)، \(g(0)=0\)، ومن ثمّ \(\text{Ai}(0) = \alpha = 0.3550281\) و\(\text{Bi}(0) = \sqrt{3}\,\alpha = 0.6149266\). وعند \(x = 1\): تكون \(f(1) \approx 1.1722535\) و\(g(1) \approx 1.0853407\)، فينتج \(\text{Ai}(1) \approx 0.1352924\) و\(\text{Bi}(1) \approx 1.2074236\)، وهي قيم مطابقة للقيم المجدولة.
التعريفات والمسرد
- دالة إيري من النوع الأول، \(\text{Ai}(x)\)
- حل معادلة إيري الذي يتناقص إلى الصفر عندما \(x \to +\infty\). بالنسبة إلى \(x\) الموجبة الكبيرة، تتناقص مثل \(\dfrac{e^{-\zeta}}{2\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\)؛ بالنسبة إلى \(x\) السالبة، تتذبذب بطول موجة ينمو بشكل بطيء.
- دالة إيري من النوع الثاني، \(\text{Bi}(x)\)
- الحل الثاني المستقل خطياً. تنمو مثل \(\dfrac{e^{\zeta}}{\sqrt{\pi}\,x^{1/4}}\) عندما \(x \to +\infty\) وتتذبذب مثل Ai عندما \(x<0\).
- معادلة إيري التفاضلية، \(y'' - xy = 0\)
- أبسط معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية ذات نقطة انقلاب عند الأصل. حلها العام هو \(y(x) = c_1\,\text{Ai}(x) + c_2\,\text{Bi}(x)\). تظهر في البصريات والميكانيكا الكمية (جسيم في جهد خطي) وتحليل WKB لمسائل الموجات.
- \(\zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}\)
- متغير الطور والتناقص الطبيعي لدوال إيري. يحكم النمو الأسي والتناقص بالنسبة إلى \(x>0\) وطور التذبذب بالنسبة إلى \(x<0\)، ويظهر في جميع أنحاء التوسعات التقاربية.
- نقطة الانقلاب
- قيمة \(x\) حيث يتغير سلوك المعادلة الطابع. بالنسبة إلى \(y'' - xy = 0\) فإن نقطة الانقلاب تقع عند \(x=0\): الحلول تكون تذبذبية بالنسبة إلى \(x<0\) (حيث المعامل \(-x\) موجب) وأسية (نموية أو متناقصة) بالنسبة إلى \(x>0\).
- التوسع التقاربي
- سلسلة في القوى العكسية لـ \(\zeta\) (أو \(x^{3/2}\)) التي تقرب Ai و Bi بدقة للقيم الكبيرة \(|x|\). قد لا تتقارب، لكن بضعة حدود فقط تعطي دقة ممتازة بعيداً عن الأصل، حيث سلاسل القوى للصيغة في علامة التبويب تتقارب ببطء.
- رونسكيان
- المحدد \(W = \text{Ai}(x)\,\text{Bi}'(x) - \text{Ai}'(x)\,\text{Bi}(x)\). رونسكيان ثابت غير صفري (هنا \(1/\pi\)) يؤكد أن Ai و Bi مستقلان خطياً وبالتالي يشكلان أساس حل كامل.
الأسئلة الشائعة
لماذا تتضخم قيمة \(\text{Bi}(x)\)؟ عند القيم الموجبة الكبيرة لـ \(x\)، تنمو \(\text{Bi}(x)\) كأسّ \(\exp(\zeta)\) وتتجاوز حدود الدقة المزدوجة (double precision) قرب \(x\) فوق ~230. لذا احرص على إبقاء الحد الأعلى متواضعًا.
لماذا تتموّج الدالتان عند قيم \(x\) السالبة؟ عندما تتجه \(x\) نحو سالب اللانهاية تتذبذب الدالتان معًا بسعة تتناقص كـ \(|x|^{-1/4}\).
ما الوحدات المستخدمة؟ لا توجد وحدات — فـ \(x\) عدد حقيقي صرف والقيم الناتجة عديمة الأبعاد.
