什麼是對數伽瑪函數？
對數伽瑪函數通常寫成 \(\ln\Gamma(\text{a})\) 或 \(\ln(\Gamma(\text{a}))\)，指的就是伽瑪函數 \(\Gamma(\text{a})\) 取自然對數後的結果。伽瑪函數把階乘的概念延伸到實數與複數上：當 \(n\) 為正整數時，\(\Gamma(n) = (n-1)!\)。由於 \(\Gamma(\text{a})\) 的數值增長得非常快，科學家與統計學家幾乎都直接使用它的對數形式，以避免數值溢位（overflow）。lnGamma 在機率論（beta 分布、gamma 分布、卡方檢定）、組合數學以及數值分析中隨處可見。
計算器使用說明
輸入引數 \(a\)（任意實數）後按下計算，工具會以自然對數形式回傳 \(\ln\Gamma(\text{a})\)，並一併給出以 10 為底的版本（Log10 Gamma）。當 \(a\) 大於 0 時，結果為實數。在 \(a = 0, -1, -2, -3, \ldots\) 這些點上，伽瑪函數存在極點（pole），因此 lnGamma 沒有定義，計算器會明確標示。對於非整數的負數 \(a\)，Gamma 可能為負值；此時計算器會透過反射公式回傳實數主值。
公式說明
本計算器採用 Lanczos 近似法（\(g = 7\)，共九個係數），這是一種快速且高度精準的封閉形式演算法。令 \(x = a - 1\)、\(t = x + 7.5\)，先計算 Lanczos 係數的加權總和 \(A\)，再代入公式 $$\ln\Gamma\!\left(\text{a}\right) = \tfrac{1}{2}\ln(2\pi) + \left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ln\!\left(t\right) - t + \ln A.$$當 \(a\) 小於或等於 0.5 時，會利用反射公式 $$\Gamma(\text{a})\,\Gamma(1-\text{a}) = \frac{\pi}{\sin(\pi\,\text{a})},$$把問題轉換到 Lanczos 級數收斂良好的區間再求值。
實際範例
以 \(a = 3.5\) 為例：$$\Gamma(3.5) = 2.5 \times 1.5 \times 0.5 \times \sqrt{\pi} = 1.875 \times 1.7724538509 = 3.32335097045.$$因此 $$\ln\Gamma(3.5) = \ln(3.32335097045) = 1.20097360234707.$$再驗證一次，當 \(a = 5\) 時 \(\Gamma(5) = 4! = 24\)，所以 $$\ln\Gamma(5) = \ln(24) = 3.17805383034795.$$
常見問題
為什麼要用伽瑪的對數，而不是直接用伽瑪本身？當 \(a\) 稍微大一點時，\(\Gamma(\text{a})\) 就會超出標準浮點數的範圍（\(\Gamma(171)\) 已經超過雙精度浮點數所能表示的上限），而 lnGamma 的數值仍在可控範圍內，因此對數形式才是實務上的選擇。
lnGamma(1) 和 lnGamma(2) 是多少？兩者都是 0，因為 \(\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1\)，而 \(\ln(1) = 0\)。此函數在 \(a \approx 1.4616\) 附近有一個最小值。
計算結果精確嗎？對於一般的引數，Lanczos 近似法可達約 15 位有效數字的精度，與雙精度浮點數的能力相當。
