什麼是 Gamma 函數計算器？
Gamma 函數（記為 \(\Gamma(a)\)）是數學中最重要的特殊函數之一。它是階乘的解析延拓：對於任何非負整數 \(n\)，皆有 \(\Gamma(n+1) = n!\)。與階乘不同的是，Gamma 函數在幾乎所有實數（與複數）上都有定義，包括分數與負數。這款計算器會針對一連串等間距的引數，建立 \(\Gamma(a)\) 的數值表，並繪製對應的曲線。這是放諸四海皆準的純數學工具，世界各地通用，不涉及任何特定國家或地區的規則。
使用方式
輸入三個數值：a 的初始值（第一個引數）、間距（每一列固定遞增的量），以及列數。第 \(k\) 列所使用的引數為 $$a_k = \text{Initial }a + k \cdot \text{Step}, \quad k = 0,1,\dots,\text{Rows}-1$$計算器會在每個引數上計算 \(\Gamma\) 值，將這些配對列在表格中，並顯示其中的最小與最大有限值。位於 \(a = 0, -1, -2, \dots\) 的極點，會標示為未定義。
公式解析
當 \(\operatorname{Re}(a) > 0\) 時，定義積分為 $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt$$在數值計算上，我們採用 Lanczos 近似法，可達到約 15 位有效數字的精度。當 \(a \le 0.5\) 時，則改用反射公式 $$\Gamma(a) = \frac{\pi}{\sin(\pi a) \times \Gamma(1-a)}$$藉此處理負數與較小的引數，避免發散。幾個關鍵特殊值：\(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} = 1.77245\)、\(\Gamma(1) = 1\)、\(\Gamma(n+1) = n!\)。
實例演算
以初始值 = 0.5、間距 = 0.5、列數 = 5 為例，引數依序為 0.5、1.0、1.5、2.0、2.5。計算結果為 \(\Gamma(0.5) = 1.77245\)（即 \(\sqrt{\pi}\)）、\(\Gamma(1.0) = 1.0\)、\(\Gamma(1.5) = 0.88623\)、\(\Gamma(2.0) = 1.0\)、\(\Gamma(2.5) = 1.32934\)。對於正的 \(a\)，曲線會先下降到最低點（約在 \(a = 1.4616\) 處達到約 \(0.8856\)），之後再次上升。
常見問題
為什麼 \(\Gamma(0)\) 沒有定義？非正整數（\(0, -1, -2, \dots\)）都是單純極點，\(\Gamma\) 在此處會發散至正無窮或負無窮，因此不存在有限值。
a 可以是負數嗎？可以。負的非整數是有效的；在相鄰兩個負整數之間，函數值會正負交替，且絕對值愈來愈大，例如 \(\Gamma(-0.5) = -3.5449\)。
計算結果有多精確？Lanczos 近似法可提供約 15 位有效數字，足以應付絕大多數的實務與教學需求。
