這個計算器的功能
本工具可列出並繪製第二類修正貝索函數 \(K_{\nu}(x)\) 的數值與圖形。只要給定一個固定的實數階數 \(\nu\) 以及一段 \(x\) 的掃描範圍，它就會回傳一張「\(x\) 對 \(K_{\nu}(x)\)」的雙欄數值表，並附上一張折線圖，讓你直觀看到函數如何衰減。這是純粹的數學運算，適用於世界各地，沒有任何地區性的前提假設。
背景知識
修正貝索函數是修正貝索方程式 $$x^2 y'' + x y' - (x^2 + \nu^2)y = 0$$ 的兩個獨立解。第一類 \(I_{\nu}(x)\) 會隨 \(x\) 增大而成長；第二類 \(K_{\nu}(x)\) 則呈指數衰減。要特別注意的是 \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\)，因此階數的正負並不影響結果——計算器內部一律取 \(|\nu|\) 處理。
使用方法
請輸入階數 \(\nu\)（任意實數）、\(x\) 的起始值、每一列加到 \(x\) 上的增量，以及重複次數（也就是 \(x\) 取樣點數／表格列數）。第 \(i\) 列使用的 \(x = \text{起始值} + i\cdot\text{增量}\)。由於 \(K_{\nu}(x)\) 僅在 \(x > 0\) 時有定義，且當 \(x \to 0^{+}\) 時會發散至 \(+\infty\)，因此若某一列的 \(x = 0\)（或為負值），結果會顯示為 Infinity（無限大）。
公式說明
計算器採用其積分表示式 $$K_{\nu}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x \cosh t}\,\cosh\!\left(\nu\, t\right)\,dt$$ 並以複合辛普森積分法（composite Simpson quadrature）進行數值計算。當被積函數小到可忽略時（即 \(x\cdot\cosh t\) 超過約 45 時），積分上限便會被截斷。這個形式在整數階數時不會出現奇異點，因此 \(K_0\)、\(K_1\)…… 都能直接求得，不會碰到含 \(I_{\nu}\) 的封閉解所遇到的 \(0/0\) 問題。
實際範例
當 \(\nu = 0\)、起始值 \(= 0.1\)、增量 \(= 0.1\)、重複次數 \(= 3\) 時，所得表格為：\(x = 0.1 \rightarrow 2.427069\)、\(x = 0.2 \rightarrow 1.752704\)、\(x = 0.3 \rightarrow 1.372460\)。這些數值與標準的 \(K_0\) 函數表完全吻合。
常見問題
為什麼第一個數值有時會是 \(\infty\)？因為 \(K_{\nu}(0)\) 會發散；請改用一個較小的正數作為起始值，例如 \(0.1\)。
可以輸入負的階數嗎？可以——由於 \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\)，\(-\nu\) 的結果會與 \(\nu\) 完全相同。
為什麼 \(x\) 較大時數值會變成 0？因為 \(K_{\nu}(x)\) 的衰減趨勢約為 \(\sqrt{\pi/2x}\cdot e^{-x}\)，所以當 \(x\) 很大時數值會下溢（underflow）為 0，這是正確的結果。
