這個計算機的功能
本工具可針對固定的實數階數 \(v\)，計算一系列 \(x\) 值對應的第一類修正貝索函數（記為 \(I_v(x)\)），並整理成數值表。您只需輸入階數、起始 \(x\) 值、增量（步長）以及要產生的列數，計算機便會依序建立數列 \(x_i = \text{起始值} + i \times \text{步長}\)，逐點求出 \(I_v(x_i)\)，同時輸出數值表與對應圖形。這是純數學的特殊函數工具，全球通用，不涉及任何地區規則或單位差異。
公式
第一類修正貝索函數 \(I_v(x)\) 是修正貝索方程式 $$x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2) y = 0$$ 的解。本工具採用其冪級數展開來計算：
$$I_v(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\;\Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2k}$$由於使用了階乘與 Gamma 函數，階數 \(v\) 可為任意實數。為確保數值穩定，每一項均在對數空間中計算，並以 Lanczos 近似法求 \(\ln \Gamma\)，再累加至各項小到可忽略為止。
使用方法
輸入階數 \(v\)（例如 0、1 或 2.5）、\(x\) 的起始值、每一列累加到 \(x\) 上的增量，以及重複次數（列數）。按下計算，即可取得包含 \(x\) 與 \(I_v(x)\) 兩欄的數值表，以及涵蓋同一範圍的圖形。
實際範例
當 \(v = 0\)、起始值 = 0、步長 = 0.5、次數 = 5 時，會得到 \(x = 0、0.5、1、1.5、2\)，對應結果為：
\(I_0(0) = 1\)、\(I_0(0.5) \approx 1.0634834\)、\(I_0(1) \approx 1.2660658\)、\(I_0(1.5) \approx 1.6467232\)、\(I_0(2) \approx 2.2795853\)。這些數值與標準參考表完全吻合。
常見問題
階數可以是負數或非整數嗎？可以。當階數為負整數時，會套用恆等式 \(I_{-n}(x) = I_n(x)\)。非整數的 \(v\) 在 \(x \geq 0\) 時皆可計算；但當 \(x < 0\) 且 \(v\) 為非整數時，其值為複數，因此會回傳 NaN。
為什麼 \(I_v(x)\) 增長得這麼快？與會振盪的普通貝索函數 \(J_v\) 不同，修正貝索函數在 \(x\) 很大時約以 \(e^x/\sqrt{2\pi x}\) 的速度成長，因此 \(x\) 過大時數值可能溢位為無限大。
\(I_v(0)\) 等於多少？\(I_0(0) = 1\)；當 \(v > 0\) 時，\(I_v(0) = 0\)。
