Công cụ này làm gì
Công cụ lập bảng và vẽ đồ thị hàm Bessel biến đổi loại hai, ký hiệu \(K_{\nu}(x)\). Khi bạn cho trước một bậc thực \(\nu\) cố định và một dải giá trị x, công cụ trả về bảng hai cột x đối chiếu với \(K_{\nu}(x)\) cùng đồ thị đường thể hiện cách hàm suy giảm. Đây là toán học thuần túy, áp dụng được ở mọi nơi mà không phụ thuộc vào quy ước vùng miền nào.
Tổng quan
Các hàm Bessel biến đổi là hai nghiệm độc lập của phương trình Bessel biến đổi $$x^{2}y'' + xy' - (x^{2} + \nu^{2})y = 0.$$ Loại thứ nhất \(I_{\nu}(x)\) tăng lên, còn loại thứ hai \(K_{\nu}(x)\) suy giảm theo hàm mũ. Lưu ý rằng \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\), nên dấu của bậc không quan trọng — bên trong, công cụ sử dụng \(|\nu|\).
Cách sử dụng
Nhập Bậc \(\nu\) (số thực bất kỳ), Giá trị x ban đầu, Bước tăng được cộng vào x ở mỗi dòng, và Số lần lặp (số điểm x được lấy mẫu / số dòng của bảng). Dòng thứ i sử dụng \(x = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\). Vì \(K_{\nu}(x)\) chỉ xác định khi \(x > 0\) và phân kỳ ra \(+\infty\) khi \(x\to 0^{+}\), nên dòng tại x = 0 (hoặc x âm) sẽ được báo là Infinity.
Giải thích công thức
Công cụ tính biểu diễn tích phân $$K_{\nu}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x \cosh t}\,\cosh(\nu t)\,dt$$ bằng phương pháp cầu phương Simpson ghép. Cận trên được cắt bớt tại điểm mà hàm dưới dấu tích phân trở nên không đáng kể (khi \(x\cdot\cosh t\) vượt khoảng 45). Dạng này không có điểm kỳ dị tại các bậc nguyên, nên \(K_{0}, K_{1}, \ldots\) được xử lý trực tiếp mà không gặp vấn đề 0/0 như công thức dạng đóng liên quan đến \(I_{\nu}\).
Ví dụ minh họa
Với \(\nu = 0\), \(\text{startX} = 0.1\), \(\text{stepX} = 0.1\), số lần lặp = 3, bảng cho ra: \(x = 0.1 \rightarrow 2.427069\), \(x = 0.2 \rightarrow 1.752704\), \(x = 0.3 \rightarrow 1.372460\). Các giá trị này khớp với giá trị tra bảng chuẩn của \(K_{0}\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao giá trị đầu tiên đôi khi là \(\infty\)? Vì \(K_{\nu}(0)\) phân kỳ; hãy chọn một giá trị startX dương nhỏ, chẳng hạn 0.1.
Bậc âm có dùng được không? Có — vì \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\), nên kết quả với \(-\nu\) bằng kết quả với \(\nu\).
Vì sao các giá trị x lớn lại về 0? \(K_{\nu}(x)\) suy giảm theo \(\sqrt{\pi/2x}\cdot e^{-x}\), nên nó nhỏ dần đến mức tràn xuống 0 với x lớn, và điều đó là chính xác.
