Что делает этот калькулятор
Инструмент строит таблицу и график модифицированной функции Бесселя второго рода, которую обозначают \(K_{\nu}(x)\). Вы задаёте фиксированный вещественный порядок \(\nu\) и набор значений \(x\), а калькулятор возвращает таблицу из двух столбцов — \(x\) и \(K_{\nu}(x)\) — вместе с линейным графиком, наглядно показывающим затухание функции. Это чистая математика: расчёт универсален и не зависит ни от какой страны или региона.
Немного теории
Модифицированные функции Бесселя — это два независимых решения модифицированного уравнения Бесселя $$x^2 y'' + x y' - (x^2 + \nu^2)y = 0.$$ Функция первого рода \(I_{\nu}(x)\) растёт, а функция второго рода \(K_{\nu}(x)\) экспоненциально убывает. Важная особенность: \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\), поэтому знак порядка роли не играет — внутри расчёта используется \(|\nu|\).
Как пользоваться
Укажите Порядок \(\nu\) (любое вещественное число), Начальное значение \(x\), Шаг, который прибавляется к \(x\) в каждой строке, и Количество шагов (число точек выборки \(x\), то есть строк таблицы). В строке \(i\) берётся \(x = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\). Поскольку \(K_{\nu}(x)\) определена только при \(x > 0\) и стремится к \(+\infty\) при \(x\to 0^{+}\), строка с \(x = 0\) (или отрицательным \(x\)) выводится как Infinity (бесконечность).
Разбор формулы
Калькулятор вычисляет интегральное представление $$K_{\nu}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x \cosh t}\,\cosh(\nu t)\,dt$$ с помощью составной формулы Симпсона. Верхний предел обрезается там, где подынтегральное выражение становится пренебрежимо малым (когда \(x\cdot\cosh t\) превышает примерно 45). У этого представления нет особенности при целых порядках, поэтому \(K_0\), \(K_1\), \(\ldots\) вычисляются напрямую, без проблемы \(0/0\), характерной для замкнутой формы с участием \(I_{\nu}\).
Разобранный пример
При \(\nu = 0\), \(\text{startX} = 0.1\), \(\text{stepX} = 0.1\), число шагов \(= 3\) получаем такую таблицу: \(x = 0.1 \rightarrow 2.427069\), \(x = 0.2 \rightarrow 1.752704\), \(x = 0.3 \rightarrow 1.372460\). Эти значения совпадают со стандартными табличными данными для \(K_0\).
Частые вопросы
Почему первое значение иногда равно \(\infty\)? Потому что \(K_{\nu}(0)\) расходится. Выбирайте небольшое положительное \(\text{startX}\), например 0.1.
Работает ли отрицательный порядок? Да — поскольку \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\), результат для \(-\nu\) совпадает с результатом для \(\nu\).
Почему при больших \(x\) значения обращаются в 0? \(K_{\nu}(x)\) убывает как \(\sqrt{\pi/2x}\cdot e^{-x}\), поэтому при больших \(x\) наступает потеря разрядности и результат становится равным 0 — это корректное поведение.
