Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент строит таблицу и график модифицированной сферической функции Бесселя первого рода \(i_v(x)\) для фиксированного порядка \(v\) на последовательности значений \(x\). Начиная с начального \(x\), он прибавляет постоянный шаг заданное число раз, формируя строки $$x_k = \text{Initial }x + k\cdot\text{Step}, \quad k = 0,1,\dots,\text{Rows}-1$$ и вычисляет \(i_v(x_k)\) для каждого из них.
Разбор формулы
Модифицированная сферическая функция Бесселя определяется через модифицированную (цилиндрическую) функцию Бесселя первого рода \(I\) по формуле $$i_{v}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x)$$ Для небольших неотрицательных целых порядков существуют удобные замкнутые выражения через гиперболические функции: \(i_0(x) = \sinh(x)/x\), \(i_1(x) = (x\cdot\cosh x - \sinh x)/x^2\), \(i_2(x) = ((x^2+3)\cdot\sinh x - 3x\cdot\cosh x)/x^3\). Для бóльших целых порядков работает рекуррентное соотношение $$i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x}\cdot i_n(x)$$ Для произвольного вещественного \(v\) калькулятор вычисляет \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) по степенному ряду с использованием гамма-функции.
Как пользоваться
Укажите порядок \(v\) (например, 0, 1 или полуцелое значение вроде 0,5), начальное значение \(x\), шаг приращения и нужное количество строк. В результате выводится таблица из двух столбцов — \(x\) и \(i_v(x)\); первое значение выделено в верхней части. Для плавной кривой берите небольшой шаг, например 0,1.
Разобранный пример
При \(v = 0\), initialX = 0, stepX = 0,1, loopCount = 51 используется функция \(i_0(x) = \sinh(x)/x\). Первая строка при \(x = 0\) даёт предельное значение 1. При \(x = 1\) получаем $$\frac{\sinh(1)}{1} = 1{,}17520119$$ При \(x = 5\) (последняя строка) $$\frac{\sinh(5)}{5} = 14{,}84064212$$ — таким образом, кривая плавно возрастает от 1 примерно до 14,84.
Часто задаваемые вопросы
Что происходит при \(x = 0\)? Форма \(\sqrt{\pi/(2x)}\) в этой точке имеет особенность, поэтому калькулятор возвращает предельное значение: \(i_0(0) = 1\) и \(i_v(0) = 0\) для \(v > 0\).
Может ли порядок быть полуцелым? Да. Допускается любой вещественный порядок; нецелые порядки вычисляются через ряд для \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\).
Может ли \(x\) быть отрицательным? Замкнутые формулы для целых порядков определены и при отрицательных \(x\), но ветвь общего порядка ограничена условием \(x \geq 0\), поскольку главное значение квадратного корня из отрицательного аргумента было бы комплексным.
