यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी निश्चित क्रम v के लिए प्रथम प्रकार के संशोधित गोलीय बेसेल फलन \(i_v(x)\) की, x के मानों की एक शृंखला पर, तालिका और ग्राफ तैयार करता है। यह एक प्रारंभिक x से शुरू होकर एक निश्चित चरण (step) को चुनी गई संख्या में बार जोड़ता है, जिससे \(x_k = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\) (जहाँ \(k = 0, 1, \dots, \text{loopCount}-1\)) के अनुसार पंक्तियाँ बनती हैं, और प्रत्येक के लिए \(i_v(x_k)\) की गणना करता है।
सूत्र की व्याख्या
संशोधित गोलीय बेसेल फलन को प्रथम प्रकार के संशोधित (बेलनाकार) बेसेल फलन I के माध्यम से इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $$i_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x).$$ छोटे अऋणात्मक पूर्णांक क्रमों के लिए सुविधाजनक हाइपरबोलिक बंद रूप उपलब्ध हैं: $$i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}, \quad i_1(x) = \frac{x \cosh x - \sinh x}{x^2}, \quad i_2(x) = \frac{(x^2+3)\sinh x - 3x \cosh x}{x^3}.$$ उच्चतर पूर्णांक क्रम इस पुनरावृत्ति संबंध का अनुसरण करते हैं: $$i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x}\, i_n(x).$$ किसी भी सामान्य वास्तविक v के लिए कैलकुलेटर गामा फलन का उपयोग करते हुए \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) को उसकी घात-शृंखला (power series) से निकालता है।
इसका उपयोग कैसे करें
क्रम v दर्ज करें (उदाहरण के लिए 0, 1 या कोई अर्ध-पूर्णांक जैसे 0.5), प्रारंभिक x मान, वृद्धि (increment), और आप कितनी पंक्तियाँ चाहते हैं। परिणाम में x और \(i_v(x)\) की दो-स्तंभ वाली तालिका दिखती है; पहला मान सबसे ऊपर हाइलाइट किया जाता है। चिकनी (smooth) वक्र के लिए 0.1 जैसा छोटा चरण इस्तेमाल करें।
हल किया हुआ उदाहरण
\(v = 0\), \(\text{initialX} = 0\), \(\text{stepX} = 0.1\), \(\text{loopCount} = 51\) के साथ फलन \(i_0(x) = \dfrac{\sinh(x)}{x}\) उपयोग होता है। \(x = 0\) वाली पहली पंक्ति सीमांत मान 1 देती है। \(x = 1\) पर, $$\frac{\sinh(1)}{1} = 1.17520119.$$ \(x = 5\) पर (अंतिम पंक्ति), $$\frac{\sinh(5)}{5} = 14.84064212,$$ अर्थात् वक्र 1 से चिकनाई के साथ बढ़कर लगभग 14.84 तक पहुँच जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
x = 0 पर क्या होता है? \(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\) वाला रूप वहाँ अनिर्धारित (singular) हो जाता है, इसलिए कैलकुलेटर सीमा-मान लौटाता है: \(i_0(0) = 1\) और \(v > 0\) के लिए \(i_v(0) = 0\)।
क्या क्रम अर्ध-पूर्णांक हो सकता है? हाँ। कोई भी वास्तविक क्रम मान्य है; गैर-पूर्णांक क्रमों की गणना \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) की शृंखला के ज़रिए की जाती है।
क्या x ऋणात्मक हो सकता है? पूर्णांक-क्रम के बंद रूप ऋणात्मक x के लिए परिभाषित हैं, परंतु सामान्य-क्रम वाली शाखा \(x \geq 0\) तक सीमित है, क्योंकि ऋणात्मक तर्क का मुख्य-शाखा (principal-branch) वर्गमूल सम्मिश्र (complex) हो जाएगा।
