這個計算機的用途
都卜勒效應指的是當音源朝你靠近或遠離時,你所聽到音高的變化——最典型的例子,就是救護車鳴笛由近而遠時那種「先升後降」的聲調轉折。這個計算機會根據音源發出的頻率、音源與觀察者的相對速度,以及空氣溫度(溫度決定了音速),計算出觀察者實際聽到的頻率。
使用方法
輸入音源頻率 \(f_0\)(單位為赫茲 Hz)、空氣溫度(攝氏度)以及兩者的速度(單位為 km/h)。請特別注意正負號的規定:音源速度 \(V_s\) 朝觀察者靠近時為正值,遠離時為負值;觀察者速度 \(V_o\) 遠離音源時為正值,靠近時為負值。系統會先將速度換算成每秒公尺(m/s),再代入公式計算。
公式說明
首先由溫度推算音速:$$v = 331.5 + 0.61\,T$$(在 20°C 時約為 343.7 m/s)。接著計算觀察者聽到的頻率:$$f = f_0 \cdot \frac{v - V_o}{v - V_s}$$當音源靠近時,分母變小、音高升高;當觀察者遠離時,分子變小、音高降低。
實例演算
假設汽車喇叭發出 \(f_0 = 440\ \text{Hz}\),空氣溫度 20°C,汽車以 \(V_s = 135\ \text{km/h}\) 朝你駛來,而你站著不動(\(V_o = 0\))。音速為 $$331.5 + 0.61 \times 20 = 343.7\ \text{m/s}$$ $$V_s = 135 \times 0.2777778 = 37.5\ \text{m/s}$$ 因此 $$f = 440 \times \frac{343.7}{343.7 - 37.5} = 440 \times \frac{343.7}{306.2} \approx 493.89\ \text{Hz}$$ ——原本 440 Hz 的「A 音(La)」升高到接近「B 音(Si)」,音高明顯往上跳了一階。
常見問題
為什麼音源經過之後,聽到的音高會驟降?當音源開始遠離時,\(V_s\) 變成負值,分母隨之變大,\(f\) 便降到比 \(f_0\) 還低。
如果音源達到音速會怎樣?此時分母 \((v - V_s)\) 趨近於零,公式會發散——這正是震波前緣/音爆(sonic boom)的情況,因此本工具會標示為超出計算範圍。
為什麼要輸入溫度?空氣中的音速會隨溫度改變;空氣愈暖,聲音傳得愈快,都卜勒頻移也會略有不同。