प्रतिलोम त्रुटि फलन कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी दिए गए विमारहित (dimensionless) मान y के लिए प्रतिलोम त्रुटि फलन \(\operatorname{erf}^{-1}(y)\) और प्रतिलोम पूरक त्रुटि फलन \(\operatorname{erfc}^{-1}(y)\) की गणना करता है। त्रुटि फलन $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt$$ प्रायिकता (probability), विसरण (diffusion) और सिग्नल प्रोसेसिंग की समस्याओं में बार-बार सामने आता है। इसका प्रतिलोम उल्टा सवाल हल करता है: यदि किसी मान y का पता हो, तो वह कौन-सा x है जिसके लिए \(\operatorname{erf}(x) = y\) हो?
इसका उपयोग कैसे करें
कोई मान y दर्ज करें और चुनें कि परिणाम में कितने अंक दिखाने हैं। \(\operatorname{erf}^{-1}\) के लिए मान्य परिसर (domain) \(-1 < y < 1\) है; जबकि \(\operatorname{erfc}^{-1}\) के लिए मान्य परिसर \(0 < y < 2\) है। दोनों परिणाम इस सर्वसमिका (identity) से जुड़े हैं: $$\operatorname{erfc}^{-1}(y) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - y),$$ क्योंकि \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\)। सीमाओं पर परिणाम \(\pm\infty\) की ओर अपसरित (diverge) हो जाते हैं (उदाहरण के लिए \(\operatorname{erf}^{-1}(1) = +\infty\))।
सूत्र की व्याख्या
\(\operatorname{erf}^{-1}\) का कोई सरल बंद-रूप (closed form) सूत्र नहीं है। हम Giles (2010) के परिमेय सन्निकटन (rational approximation) से शुरुआत करते हैं, जो लगभग 1e-7 तक सटीक है, और फिर न्यूटन विधि से इसे परिशोधित करते हैं: $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{\operatorname{erf}(x_{n}) - y}{\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x_{n}^{2}}}$$ erf का अवकलज (derivative) \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^{2}}\) होता है। जब तक अवशेष \(|\operatorname{erf}(x_{n}) - y|\) 1e-15 से नीचे न आ जाए, तब तक पुनरावृत्ति करने पर पूर्ण द्विक परिशुद्धता (double precision) मिलती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(y = 0.3\): तो \(\operatorname{erf}^{-1}(0.3) \approx 0.2724627\), क्योंकि \(\operatorname{erf}(0.2724627) \approx 0.3\)। इसके बाद $$\operatorname{erfc}^{-1}(0.3) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0.3) = \operatorname{erf}^{-1}(0.7) \approx 0.7328691,$$ जिससे \(\operatorname{erfc}(0.7328691) = 1 - 0.7 = 0.3\) हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
y = 0.5 पर erf-1 और erfc-1 बराबर क्यों होते हैं? क्योंकि \(\operatorname{erfc}^{-1}(0.5) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0.5) = \operatorname{erf}^{-1}(0.5)\); दोनों के तर्क (arguments) केवल \(y = 0.5\) पर ही एक समान होते हैं।
परिसर की सीमाओं पर क्या होता है? \(\operatorname{erf}^{-1}(\pm 1) = \pm\infty\) और \(\operatorname{erfc}^{-1}(0) = +\infty\), \(\operatorname{erfc}^{-1}(2) = -\infty\)। परिसर के बाहर के इनपुट त्रुटि लौटाते हैं।
क्या erf-1 एक विषम (odd) फलन है? हाँ: \(\operatorname{erf}^{-1}(-y) = -\operatorname{erf}^{-1}(y)\)।
